Масса планеты составляет 0,2 от массы Земли, диаметр планеты втрое меньше, чем диаметр Земли. Чему равно отношение перио-
дов обращения искусственных спутников планеты и Земли, двига-
ющихся по круговым орбитам на небольшой высоте? (=0.4)​

Давайте решим эту задачу по шагам.

1. Дано: Масса планеты составляет 0,2 от массы Земли, диаметр планеты втрое меньше, чем диаметр Земли. Мы также знаем, что отношение периодов обращения искусственных спутников планеты и Земли равно 0,4.

2. Предположим, что масса Земли равна M, а ее диаметр равен D. Тогда масса планеты будет составлять 0,2M и ее диаметр будет равен 1/3D.

3. Зная, что отношение периодов обращения спутников равно 0,4, мы можем использовать законы Кеплера, чтобы выразить это отношение через другие характеристики планет.

4. Закон Кеплера гласит: "Квадрат периода обращения планеты вокруг Солнца пропорционален кубу большой оси орбиты." Но мы рассматриваем спутники, которые движутся вокруг планеты, поэтому мы должны применить закон Кеплера к этой ситуации.

5. Пусть Т_Земля будет периодом обращения спутников Земли, а Т_планета - периодом обращения спутников планеты.

Закон Кеплера: (T_планета / Т_Земля)^2 = (r_планета / r_Земля)^3, где r_планета и r_Земля - радиусы орбит спутников планеты и Земли соответственно.

6. Обратимся к диаметрам. Поскольку диаметр Земли D_Земля у нас уже есть, чтобы найти диаметр планеты D_планета, мы используем формулу D_планета = (1/3) * D_Земля.

7. Диаметр и радиус орбиты связаны соотношением: D = 2 * r. Подставим это выражение в формулу (T_планета / Т_Земля)^2 = (r_планета / r_Земля)^3.

(D_планета / D_Земля)^2 / 4 = ((r_планета / 2) / r_Земля)^3

((1/3) * D_Земля / D_Земля)^2 / 4 = ((r_планета / 2) / r_Земля)^3

(1/9) / 4 = ((r_планета / 2) / r_Земля)^3

1/36 = (r_планета / 2)^3 / r_Земля^3

8. Из условия задачи мы знаем, что масса планеты составляет 0,2 от массы Земли. Если мы предположим, что плотность планеты равна плотности Земли, то объем планеты будет равен (0,2M) / p, где M - масса Земли и p - плотность.

Объем планеты V_планеты = (1/6) * pi * (D_планета)^3 = (1/6) * pi * ((1/3) * D_Земля)^3

Объем Земли V_Земли = (1/6) * pi * D_Земля^3

Отношение объемов V_планеты / V_Земли = [(1/6) * pi * ((1/3) * D_Земля)^3] / [(1/6) * pi * D_Земля^3] = [(1/3)^3 * D_Земля^3] / D_Земля^3 = (1/27)

Мы предположили, что плотность планеты равна плотности Земли, поэтому отношение масс M_планеты / M_Земли также будет равно 1/27.

9. Так как объем планеты и ее масса у нас уже есть, то мы можем найти радиус орбиты спутников планеты, используя формулу плотности: M_планеты = (4/3) * pi * r_планета^3 * p.

M_планеты = (4/3) * pi * r_планета^3 * p = (4/3) * pi * r_Земля^3 * (1/27) * p

(0.2M) = (4/3) * pi * r_Земля^3 * (1/27) * p

r_планета^3 = r_Земля^3 * (1/27 * 0.2 * 27/4) = r_Земля^3 * 0.2/4 = r_Земля^3 / 20

r_планета = (r_Земля^3 / 20)^(1/3)

10. Подставим значение r_планета и r_Земля в выражение (r_планета / 2)^3 / r_Земля^3, чтобы найти (T_планета / T_Земля)^2.

((r_планета / 2) / r_Земля)^3 = ((r_Земля^3 / 20)^(1/3) / 2) / r_Земля^3

= ((1 / (20^(1/3) * 2)) = 1 / (2 * 20^(1/3)) = 1 / (2 * ∛20)

11. Из условия задачи мы знаем, что (T_планета / T_Земля)^2 = 0,4. Подставим это значение в выражение и решим уравнение:

1 / (2 * ∛20) = 0,4

1 = 0,4 * 2 * ∛20

∛20 = 1 / (0,4 * 2) = 1 / 0,8 = 1,25

20 = (∛20)^3 = 1,25^3 = 1,953125

12. Теперь, зная значение ∛20, мы можем вычислить (T_планета / T_Земля):

(T_планета / T_Земля)^2 = 0,4

(T_планета / T_Земля) = √0,4 = √(2/5) = √2 / √5 = (√2 / √5) * (√5 / √5) = (√10 / 5) * (√5 / √5) = √10 / 5

Ответ: Отношение периодов обращения искусственных спутников планеты и Земли равно √10 / 5.