1. два цилиндрических стержня одинакового диаметра, изготовленные один из алюминия, другой из стали, соединены торцами. длина алюминиевого стержня 0,8 м, стального 1,2 м. на каком расстоянии от свободного торца стального стержня находится центр тяжести системы? плотность алюминия 2700 кг/м3, плотность стали 8100 кг/м3. 2. шар радиусом 10 см скатывается без скольжения с наклонной плоскости высотой 70 см. найти угловую скорость шара в момент выхода на горизонтальный участок. 3. у двух шаров из одинакового материала радиусы отличаются в 3 раза. во сколько раз отличаются их главные моменты инерции?

2ba+  =2bao fe+o2=fe2o3 4li+ =2li2o 2li+s=li2s

1. Для решения этой задачи нам понадобятся две формулы.

Сначала найдем объем каждого стержня. Объем цилиндрического стержня вычисляется по формуле:

V = π * r^2 * h,

где V - объем, r - радиус основания стержня, h - высота стержня. Так как оба стержня имеют одинаковый диаметр, их радиусы также будут равны.

Для алюминиевого стержня:
V_al = π * (r_al)^2 * h_al,

Для стального стержня:
V_st = π * (r_st)^2 * h_st.

Затем мы можем найти массу каждого стержня, используя следующую формулу:

m = p * V,

где m - масса, p - плотность материала, а V - объем, который мы уже посчитали.

Масса алюминиевого стержня:
m_al = p_al * V_al,

Масса стального стержня:
m_st = p_st * V_st.

Теперь можем найти моменты инерции каждого стержня. Момент инерции цилиндра вокруг своей оси (параллельной торцу) равен:

I = (1/4) * m * r^2,

где I - момент инерции, m - масса стержня, r - радиус стержня.

Для алюминиевого стержня:
I_al = (1/4) * m_al * (r_al)^2,

Для стального стержня:
I_st = (1/4) * m_st * (r_st)^2.

Теперь мы можем найти суммарный момент инерции системы, складывая моменты инерции каждого стержня:

I_total = I_al + I_st.

Так как масса системы, а следовательно и момент инерции, распределены равномерно относительно центра тяжести, то мы можем сделать вывод, что центр тяжести системы находится на середине между торцами стального стержня (так как стальный стержень длиннее).

Расстояние от свободного торца стального стержня до центра тяжести системы будет равно половине длины стального стержня:

L = h_st / 2.

Теперь мы можем подставить известные значения и рассчитать ответ:

L = 1.2 м / 2 = 0.6 м.

Таким образом, центр тяжести системы будет находиться на расстоянии 0.6 м от свободного торца стального стержня.

2. Чтобы найти угловую скорость шара в момент выхода на горизонтальный участок, мы можем использовать закон сохранения механической энергии.

Первоначальная потенциальная энергия (масса шара не влияет на его скорость, поэтому можно не учитывать):
Pe_initial = m * g * h,

где Pe_initial - потенциальная энергия в начальный момент времени (на наклонной плоскости), m - масса шара, g - ускорение свободного падения, h - высота наклонной плоскости.

Кинетическая энергия в момент выхода на горизонтальный участок:
Ke_final = (1/2) * I * w^2,

где Ke_final - кинетическая энергия в конечный момент времени (на горизонтальном участке), I - момент инерции шара, w - угловая скорость шара.

По закону сохранения энергии имеем:
Pe_initial = Ke_final.

Потенциальная энергия в начальный момент времени (на наклонной плоскости) переводится в кинетическую энергию Затем, на горизонтальном участке, шар движется без подъема или спуска, поэтому его потенциальная энергия равна нулю.

Таким образом, мы можем записать уравнение:
m * g * h = (1/2) * I * w^2.

Мы знаем, что момент инерции шара равен,
I = (2/5) * m * r^2,

где r - радиус шара.

Подставим это значение и разрешим уравнение относительно угловой скорости w:
m * g * h = (1/2) * (2/5) * m * r^2 * w^2,

m и r сокращаются:

g * h = (1/5) * r^2 * w^2,

w^2 = (5 * g * h) / r^2.

Найденное значение w будет равно квадратному корню из этого выражения.

Теперь мы можем подставить известные значения и рассчитать ответ:

w = sqrt((5 * 9.8 м/c^2 * 0.7 м) / (0.1 м)^2) = sqrt(34.3) м/c.

Таким образом, угловая скорость шара в момент выхода на горизонтальный участок составляет приблизительно 5.86 м/c.

3. Главный момент инерции шара относительно его оси равен:

I = (2/5) * m * r^2,

где m - масса шара, r - радиус шара.

По условию радиусы двух шаров отличаются в 3 раза. Пусть радиус первого шара будет r1, а радиус второго шара будет r2. Тогда:

r2 = 3 * r1.

Применяя формулу для главного момента инерции шара, мы можем записать:

I2 = (2/5) * m * (r2)^2,

I1 = (2/5) * m * (r1)^2.

Разделим второе уравнение на первое:

(I2/I1) = ((2/5) * m * (r2)^2) / ((2/5) * m * (r1)^2),

m и (2/5) сокращаются:

(I2/I1) = (r2^2) / (r1^2).

Теперь мы можем подставить значение r2 и выполняем несложные вычисления:

(I2/I1) = (3 * r1)^2 / r1^2 = 9 * (r1^2 / r1^2) = 9.

Таким образом, главные моменты инерции двух шаров отличаются в 9 раз.