Функция издержек фирмы в периоде имеет вид: tc(y) = 4y3 – 4y2 + 10y + 100, где y – объем выпуска в единицу времени. а) определите величину постоянных издержек фирмы и функцию средних постоянных издержек. б) напишите функции переменных, средних переменных и предельных издержек фирмы. в) при каком объеме выпуска средние переменные издержки достигают своего минимального значения? каково это минимальное значение? г) рассчитайте значение предельных издержек при объеме выпуска, минимизирующем средние переменные издержки. сделайте вывод о взаимосвязи предельных и средних переменных издержек.

a) Чтобы определить величину постоянных издержек фирмы, мы должны найти константу в функции издержек, которая не зависит от объема выпуска (y). В данном случае, постоянные издержки представлены последним слагаемым функции издержек, то есть 100. Таким образом, величина постоянных издержек равна 100.

Теперь рассмотрим функцию средних постоянных издержек (АСС). Формула для расчета АСС: АСС(y) = tc(y) / y.

Вставим формулу функции издержек в формулу АСС и распределим слагаемые:
АСС(y) = (4y3 – 4y2 + 10y + 100) / y.

Теперь разделим каждый член на y:
АСС(y) = 4y3 / y – 4y2 / y + 10y / y + 100 / y.

Простые сокращения дадут нам:
АСС(y) = 4y^2 – 4y + 10 + 100 / y.

Таким образом, функция средних постоянных издержек равна 4y^2 – 4y + 10 + 100 / y.

б) Теперь давайте определим функции переменных издержек (МС), средних переменных издержек (АВС) и предельных издержек (МК).

Функция переменных издержек (МС): МС(y) = tc'(y), где tc'(y) обозначает производную функции издержек по y.

В данном случае, мы должны найти производную функции издержек tc(y) = 4y3 – 4y2 + 10y + 100. Производная будет равна:
tc'(y) = 12y^2 – 8y + 10.

Функция средних переменных издержек (АВС) может быть рассчитана следующим образом:
АВС(y) = tc(y) / y.

Вставим формулу функции издержек в формулу АВС и распределим слагаемые:
АВС(y) = (4y3 – 4y2 + 10y + 100) / y.

Теперь разделим каждый член на y:
АВС(y) = 4y^2 – 4y + 10 + 100 / y.

Функция предельных издержек (МК) определяется как производная функции средних переменных издержек (АВС): МК(y) = АВС'(y).

Определим производную функции АВС(y) = 4y^2 – 4y + 10 + 100 / y. Производная будет равна:
АВС'(y) = 8y – 4 – 100 / y^2.

в) Чтобы найти объем выпуска, при котором средние переменные издержки достигают своего минимального значения, мы должны найти точку экстремума функции АВС(y). Для этого приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:
АВС'(y) = 0.

8y – 4 – 100 / y^2 = 0.

Умножим все слагаемые на y^2 для упрощения уравнения:
8y^3 – 4y^2 – 100 = 0.

Такое уравнение сложно решить аналитически, поэтому воспользуемся графическим методом или численными методами (например, методом половинного деления или методом Ньютона) для нахождения приближенного значения этого объема выпуска.

г) Чтобы рассчитать значение предельных издержек (МК) при объеме выпуска, минимизирующем средние переменные издержки, мы должны подставить найденное значение объема выпуска (из ответа на вопрос в)) в формулу предельных издержек (МК(y) = АВС'(y)) и рассчитать его значение.

Теперь мы можем сделать вывод о взаимосвязи предельных и средних переменных издержек. Предельные издержки (МК) представляют собой темп прироста переменных издержек при увеличении объема выпуска на единицу.
Если значение предельных издержек (МК) меньше значения средних переменных издержек (АВС), то средние переменные издержки уменьшаются с увеличением объема выпуска (увеличением y). Если значение предельных издержек (МК) больше значения средних переменных издержек (АВС), то средние переменные издержки увеличиваются с увеличением объема выпуска.