В ящике 10 деталей, из которых четыре окрашены. Сборщик наудачу взял три детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна

Решение.

Требование – хотя бы одна из взятых деталей окрашена – будет осуществлено, если произойдет любое из следующих трех несовместных событий: B – одна деталь окрашена, C – две детали окрашены, D – три детали окрашены.

Интересующее нас событие A можно представить в виде суммы событий: A=B+C+D. По теореме сложения,

P(A)=P(B)+P(C)+P(D).

Найдем вероятность событий B, C и D:

Окрашенная деталь будет выбрана, если сборщик взял хотя бы одну из четырех окрашенных деталей.

Чтобы найти вероятность этого события, нужно разделить количество благоприятных исходов на общее количество возможных исходов.

Посмотрим на количество благоприятных исходов. Есть несколько вариантов:

1) Сборщик выбирает одну окрашенную деталь из трех, а остальные две детали - незакрашенные. Количество таких вариантов равно 4 (так как выбираем одну деталь из 4 окрашенных деталей) умноженное на количество способов выбрать две незакрашенные детали из 6 оставшихся в ящике. Это можно рассчитать по формуле сочетания: C(4,1) * C(6,2) = 4 * 15 = 60.

2) Сборщик выбирает две окрашенные детали и одну незакрашенную. Количество таких вариантов равно 4 (выбираем две детали из 4 окрашенных) умноженное на количество способов выбрать одну незакрашенную из 6 оставшихся в ящике. Это можно рассчитать по формуле сочетания: C(4,2) * C(6,1) = 6 * 6 = 36.

Общее количество исходов равно количеству способов выбрать три детали из всех десяти деталей в ящике: C(10,3) = 120.

Теперь найдем вероятность того, что сборщик возьмет хотя бы одну окрашенную деталь:

P(хотя бы одна окрашенная деталь) = (количество благоприятных исходов) / (общее количество исходов) = (60 + 36) / 120 = 96 / 120 = 4 / 5 = 0.8.

Таким образом, вероятность того, что сборщик возьмет хотя бы одну окрашенную деталь, составляет 0.8 или 80%.

Можно также представить это в виде диаграммы Венна. Изначальное количество деталей в ящике составляет 10. Из них 4 окрашены, а 6 не окрашены. Вероятность выбрать хотя бы одну окрашенную деталь представляет собой вероятность выбрать деталь, принадлежащую к оранжевому кругу:

Окрашенные Не окрашенные
детали детали
│ │
4 │ 6 │
│ │
───────│───────
│ │
1 │ 3
│ ┌───────────┐ │
│ │ │ │
└──────────│──────┘ │
│ оранжевый круг │
┌───────────│──────┐ │
│ 2 │ │
└───────────────┘

Таким образом, вероятность выбрать хотя бы одну окрашенную деталь равна отношению площади оранжевого круга ко всей площади, которая равняется 4/5 или 80%.