В трапеции ABCD, где AD и ВС — основания, М ∈ АВ и N ∈ CD, причем MN || AD. Докажите, что если BN || MD, то и МС || AN.

решение задания по геометрии
 

Добрый день!

Давайте рассмотрим данную трапецию ABCD и постараемся понять, почему утверждение "Если BN || MD, то и МС || AN" верно.

Для начала, давайте обратим внимание на то, что у нас есть две пары параллельных сторон. Это условие, которое мы должны использовать в нашем доказательстве.

Пусть P - точка пересечения МС и AN. Нам нужно доказать, что МС || AN, то есть треугольники МСP и NPA подобны.

Для начала, обратим внимание на прямоугольные треугольники, которые образуются параллельными сторонами трапеции. Мы знаем, что треугольники ADC и BCD прямоугольные, поскольку основания AD и BC параллельны боковым сторонам CD и AB соответственно.

Также мы видим, что треугольник BPN и треугольник DPM прямоугольные, потому что стороны BN и MD параллельны основаниям AD и BC соответственно.

Мы также замечаем, что треугольник ANM и треугольник CMP прямоугольные, поскольку стороны MN и MC параллельны основаниям AD и BC соответственно.

По условию задачи мы также знаем, что MN || AD, поэтому мы можем сделать вывод, что угол NAM равен углу AMD.

Рассмотрим основания AD и BC. Мы видим, что у этих основанийМС и BN - серединные линии. Поэтому мы можем сделать вывод, что угол NPM равен углу PNB.

Теперь рассмотрим треугольники AMP и BNP. У нас есть две прямых пары углов, которые равны углам прямоугольных треугольников MBP и NAD, а также пара равных углов - NPM и PNB.

Теперь мы можем сделать вывод, что треугольник AMP подобен треугольнику BNP по двум углам, и пропорциональна им.

Возвращаясь к точке P, мы видим, что углы CPN и MPN равны углам NCP и MPA соответственно, поскольку треугольники AMP и BNP подобны.

Теперь мы можем сделать вывод, что МС || AN, так как у нас есть пара равных углов - CPN и NCP.

Итак, мы доказали, что если BN || MD, то и МС || AN.


В данном доказательстве мы использовали свойства исходной трапеции ABCD, прямоугольные треугольники, параллельные стороны и соответствующие углы. Поэтому утверждение о параллельности МС и AN является логическим следствием данных свойств и ограничений задачи.