Стороны треугольника равны 11 см, 13 см и 20 см. Найдите наименьшую высоту треугольника, радиусы его вписанной и описанной окружностей

решение задания по геометрии
 

Для начала, давай определим, что такое высота треугольника. Высота треугольника — это прямая, проведенная из вершины треугольника до основания, перпендикулярно к основанию.

Теперь приступим к решению задачи. Мы знаем, что стороны треугольника равны 11 см, 13 см и 20 см. Пусть у нас есть треугольник ABC, где AB = 11 см, BC = 13 см и AC = 20 см.

Чтобы найти наименьшую высоту треугольника, нам понадобится знать его площадь. Формула для вычисления площади треугольника: S = (1/2) * a * h, где S - площадь, a - длина основания, h - высота.

Теперь нам нужно найти высоту треугольника. Для этого воспользуемся формулой Герона для вычисления площади треугольника:
S = sqrt(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)),
где p - полупериметр треугольника, равный сумме длин всех сторон, деленной на 2.

Найдем полупериметр треугольника:
p = (11 + 13 + 20) / 2 = 22

Теперь подставим значения в формулу площади Герона:
S = sqrt(22 * (22 - 11) * (22 - 13) * (22 - 20))
S = sqrt(22 * 11 * 9 * 2)
S = sqrt(4356)
S = 66 см²

Теперь, когда у нас есть площадь треугольника, мы можем найти его высоту:
S = (1/2) * a * h,
66 = (1/2) * 20 * h,
132 = 20h,
h = 6,6 см

Таким образом, наименьшая высота треугольника равна 6,6 см.

Теперь перейдем к нахождению радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника.

Радиус вписанной окружности можно найти с помощью формулы r = S / p,
где r - радиус вписанной окружности, S - площадь треугольника, p - полупериметр треугольника.

Подставим известные значения:
r = 66 / 22,
r = 3 см

Таким образом, радиус вписанной окружности треугольника равен 3 см.

Чтобы найти радиус описанной окружности, воспользуемся формулой R = (a * b * c) / (4 * S),
где R - радиус описанной окружности, a, b, c - стороны треугольника, S - площадь треугольника.

Подставим известные значения:
R = (11 * 13 * 20) / (4 * 66),
R = 14,8 см

Таким образом, радиус описанной окружности треугольника равен 14,8 см.

Вот и все! Мы нашли наименьшую высоту треугольника, а также радиусы его вписанной и описанной окружностей.