Докажите, что квадрат площади параллелограмма ABCD равен AB2 * AD2 – (AB*AD)2

решение задания по геометрии
 

Хорошо! Давайте посмотрим, как мы можем доказать данное утверждение.

Приступим к доказательству:

1. Начнем с предположения, что AB и AD - стороны параллелограмма ABCD, то есть AB и AD являются векторами. Обозначим эти векторы за a и b соответственно.

2. Площадь параллелограмма ABCD равна произведению длины одной стороны на длину высоты, опущенной на эту сторону. Обозначим высоту через h и получим следующее уравнение: Площадь = AB * h.

3. Высоту h мы можем определить как проекцию вектора b на вектор a (или наоборот). Обозначим проекцию через p и получим следующее уравнение: h = p.

4. Теперь мы можем записать уравнение для площади через векторы: Площадь = AB * p.

5. Но заметим, что проекцию вектора b на a можно выразить скалярным произведением a и b, поделенным на квадрат длины вектора a. То есть p = (a · b) / (|a|^2).

6. Подставим это выражение для p в уравнение площади и получим следующее равенство: Площадь = AB * (a · b) / (|a|^2).

7. Теперь мы хотим показать, что площадь параллелограмма равна выражению AB^2 * AD^2 - (AB * AD)^2.

8. Обратимся к определению скалярного произведения: a · b = |a| * |b| * cos(angle), где angle - угол между векторами.

9. Распишем скалярное произведение в числителе по его определению: AB * AD * cos(angle).

10. Синус угла между векторами равен площади параллелограмма (по свойству параллелограмма) деленной на произведение длин векторов: sin(angle) = Площадь / (|AB| * |AD|).

11. Получаем уравнение: cos(angle) = (|AB| * |AD| - (Площадь / (|AB| * |AD|))).

12. Таким образом, мы можем записать скалярное произведение a и b, используя длины AB, AD и площадь параллелограмма: (a · b) = |AB| * |AD| * cos(angle) = |AB| * |AD| - (Площадь / (|AB| * |AD|)).

13. Теперь подставим это выражение обратно в наше уравнение для площади: Площадь = AB * (|AB| * |AD| - (Площадь / (|AB| * |AD|))) / (|AB|^2).

14. Выразим площадь через AB и AD: Площадь * (|AB|^2 * |AD|^2) = AB^2 * AD^2 - Площадь^2.

15. Но мы помним, что площадь равна AB * h, поэтому заменим Площадь на AB * h в уравнении: AB * h * (|AB|^2 * |AD|^2) = AB^2 * AD^2 - (AB * h)^2.

16. Замена h = p даст нам окончательное уравнение: AB * p * (|AB|^2 * |AD|^2) = AB^2 * AD^2 - (AB * p)^2.

17. Обратим внимание, что AB является общим множителем в левой части уравнения, поэтому можем сократить его: p * (|AB|^2 * |AD|^2) = AB * AD^2 - (AB * p)^2.

18. Своеобразный финал! Поскольку мы знаем, что AB и AD - это векторы, длина каждого из которых больше нуля, то мы можем поделить обе части уравнения на AB * AD^2: p * (|AB| * |AD|) = 1 - (AB * p / (AB * AD))^2.

19. Но синус угла между векторами равен p / (|AB| * |AD|), поэтому можем заменить это выражение: sin(angle) = 1 - (AB * p / (AB * AD))^2.

20. Oтносительно sin(angle) получается: sin(angle) = 1 - sin^2(angle).

21. Это уравнение верно, поскольку sin^2(angle) + cos^2(angle) = 1 (тождество Пифагора).

22. Таким образом, мы доказали, что квадрат площади параллелограмма ABCD равен AB^2 * AD^2 - (AB * AD)^2.