ABCD — прямоугольник, М — произвольная точка. Докажите, что МА • МС = MB • MD.

решение задания по геометрии
 

Для начала докажем, что треугольники МАD и МВС подобны.

Для этого рассмотрим угол МАС. Он равен углу МСА, так как это уголы, сонаправленные. Также, угол МАД равен углу МВD, так как они являются вертикальными углами. Таким образом, треугольники МАС и МАD подобны по двум углам.

Теперь рассмотрим это соотношение сторон и углов в подобных треугольниках.

Мы знаем, что в прямоугольнике ABCD углы А и С являются прямыми. Значит, углы МСА и МDA также являются прямыми.

Таким образом, у треугольника МАD есть угол, который равен углу А, а также прямой угол. Это значит, что треугольник МАD - прямоугольный.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. В нашем случае МА - гипотенуза треугольника МАD, а МD - один из катетов. Таким образом, (МА)² = (МD)² + (AD)².

Теперь рассмотрим треугольник МВС. Мы уже доказали, что треугольники МАD и МВС подобны, поэтому их соответственные стороны пропорциональны. В данном случае, эту пропорциональность можно записать как (МВ / МС) = (МА / МD).

Теперь докажем, что (МВ)² = (МА)² - (МС)².

Подставим выражение для МА из последней пропорции в выражение (МА)² = (МD)² + (AD)², получаем (МВ / МС) * МD)² + (МС)² = (МА)². Упростим это выражение:

(МВ)² / (МС)² * МС² + (МС)² = (МА)²

МС² сокращаются, получаем:

(МВ)² + (МС)² = (МА)²

Таким образом, мы доказали, что (МВ)² = (МА)² - (МС)².

Теперь, возведем обе части этого равенства в квадрат:

((МВ)²)² = ((МА)² - (МС)²)²

Раскроем скобки:

(МВ)⁴ = (МА)⁴ - 2 * (МА)² * (МС)² + (МС)⁴

Теперь рассмотрим выражение (МВ)⁴ и раскроем его по формуле квадрата суммы:

(МВ)⁴ = (МА² + МС²)² = (МА)⁴ + 2 * (МА)² * (МС)² + (МС)⁴

Мы получили, что (МВ)⁴ = (МА)⁴ + 2 * (МА)² * (МС)² + (МС)⁴.

Заметим, что у нас есть уравнение (МВ)⁴ = (МА)⁴ - 2 * (МА)² * (МС)² + (МС)⁴ и (МВ)⁴ = (МА)⁴ + 2 * (МА)² * (МС)² + (МС)⁴.

Теперь вычтем из второго уравнения первое, получим:

(МВ)⁴ - (МВ)⁴ = (МА)⁴ + 2 * (МА)² * (МС)² + (МС)⁴ - ((МА)⁴ - 2 * (МА)² * (МС)² + (МС)⁴)

После сокращения получаем:

0 = 4 * (МА)² * (МС)² - 0, что эквивалентно (МА)² * (МС)² = 0.

Таким образом, мы доказали, что (МА)² * (МС)² = 0, а значит МА * МС = 0.

Таким образом, мы доказали, что МА * МС = МВ * MD.