ABCD - квадрат с стороной 4 см.Точка М отдалена от каждой вершины квадрата на 7 см. Найти расстояние от середины отрезка МА до вершин и сторон квадрата

Решение.
Сначала изобразим условие задачи графически.
Пирамида с меданами граней
Как видно из чертежа, точка М - представляет собой вершину правильной четырехугольной пирамиды. Точка К, явлющаяся серединой ребра АМ, Является точкой, к которой проведены медианы треугольников ADM, ABM и ACM. То есть медианы KC, KD и KB этих треугольников и являются расстояниями до вершин квадрата.

Таким образом, задача нахождения расстояний сводится к задаче нахождения длины этих медиан.

Для нахождения длины медиан применим теорему Стюарта.

mc2 = ( 2a2 + 2b2 - c2 ) / 4

Для треугольника ABM медиана KB
KB2 = ( 2AM2   + 2AB2 - AM2  )  / 4
KB2 = ( 2 * 7 2 + 2 * 4 2 - 7 2 ) / 4
KB2 = ( 98 + 32 - 49  ) / 4 = 81 / 4
KB = 4,5  
Поскольку пирамида правильная, то для KD будет тот же результат KD = 4,5

Длина диагонали квадрата АС = 4√2 (по соответствующей формуле d = a√2 )

Для треугольника ACM медиана CK будет равна:
CK2 = ( 2AC2 + 2CM2 - AM2  )  / 4
CK2 = ( 2(4√2)2 + 2 * 72 - 72  )  / 4
CK2 = ( 64 + 98 - 49  )  / 4
CK = √113/2
Для нахождения расстояний до сторон квадрата изобразим задачу следующим образом:

piramida_m2.gif
Сначала определим высоту пирамиды:   
MO2  = MA2 -  OA2
Поскольку пирамида правильная, длина OA равна половине длины диагонали квадрата.
MO2 = 72 - ( 2√2 )2  
MO = √41
Откуда длина отрезка KL по теореме Фалеса равна  
KL = √41/2
(так как KA равно половине MA в треугольнике AOM или, если хотите, как средняя линия треугольника)

Аналогично,
LA = OA / 2 = √2
LA является диагональю квадрата, стороны которого равны расстоянию от точки L до сторон основания. Поскольку диагональ квадрата равна  
d = a√2
то
LA = a√2
√2 = a√2   
  a = 1
То есть LF = 1

Тогда расстояние от точки K до стороны AD по теореме Пифагора будет равно:
KF2 = KL2 + LF2
KF2 = ( √41/2 )2 + 1
KF = √45 / 2 = 3√5 / 2
Теперь найдем расстояние до двух других сторон квадрата
KE2 = KL2 + LE2
заметим, что LE = FE - LF = AB - LF = 4 - 1 = 3

Откуда
KE2 = ( √41/2 )2  + 32
KE = √77 / 2
Ответ: расстояния до вершин квадрата равны 4,5 4,5   √113/2, а до сторон  квадрата √77/2 и   3√5/2