He has *a* name или he has *the* name
Почему?

Объяснение:

"a" потому что после am/is/are has got/have got если следующие слово однина

the будет перед вещами которые эдинственные в своём роде ибо уникальные ( например the moon )

По сути верны оба варианта. Но когда мы говорим с кем-то,собеседник видит/слышит о чем-то в первый раз, то употребляется артикль а, мы, как бы «подстраиваемся» под него. Например
1: I bought a book yesterday. (Собеседник впервые слышит о книге, у него нет представления о ней, поэтому ставится неопределенный артикль а)
2: Really? What about it?
1: This book is about the life of a soldier. (Теперь у оппонента есть представление о книге, он знает о чем речь и про то, что я ее вчера купила, поэтому употребляем одну из форм артикля the-конкретную.)