Знайти значення k при якому рівняння 3x²-2kx -k+6=0 не має коренів​

Объяснение:

Так как старший коэффициент уравнения 2, то уравнение 3x²–2kx–k+6=0 квадратное.

Квадратное уравнение не имеет корней, только в случае если дискриминант отрицателен.

Найдем дискриминант:

Д=(–2k)²–4*3*(–k+6)= 4k²+12k–72

Найдем в каких случаях он отрицателен.

4k²+12k–72<0

k²+3k–18<0

Графиком функции у=k²+3k–18 является парабола. Следовательно k²+3k–18<0 при k, значения когда график данной функции ниже прямой у=0

Найдем пересечение с прямой у=0.

k²+3k–18=0

Д=3²–4*1*(–18)= 9+72=81.

k(1)= (–3+√81)÷(2*1)= 6÷2=3

k(2)= (–3–√81)÷(2*1)= –12÷2= –6

Значит точки пересечения графиков у=k²+3k–18 и у=0, будут точки с координатами (–6;0) и (3;0)

Так как коэффициент при k² положительный, то ветви параболы будут направлены вверх. Тогда k²+3k–18<0 при k€(–6;3).

Следовательно уравнение 3x²–2kx–k+6=0 не имеет корней при k€(–6;3)

ответ: (–6;3)

3x²-2kx-k+6=0, уравнение не имеет когда D<0

D = (2k)²-4 * (-k+6) * 3 = 4k²-12 * (-k+6) = 4k²+12k-72

4k²+12k-72 < 0

Приравняем левую часть к нулю, чтобы квадратное уравнение разложить на множители:

4k²+12k-72 = 0 | :4

k²+3k-18=0

По теореме Виета найдем корни:

k1 + k2 = -3

k1 * k2 = -18

k1 = -6

k2 = 3

Теперь можем разложить на множители по формуле А(Х-х1)(Х-х2)

4(t+6)(t-3) = 0

Теперь решим методом интервалов:

+ - +

00

-6 3

t € (-6; 3)

ответ: при t € (-6 ; 3) уравнение не имеет корней