Задание
Постройте график функции
у = х2 - 6x+ 5.
а) При каких значениях аргумента функция принимает
положительные значения?
б) Укажите наименьшее значение функции.
в) Какова область ее значений?
г) Найдите координаты точек пересечения графика с
осью Ох,
д) Укажите промежутки возрастания и убывания функции.
е) Какие значения принимает функция, если 0 < x < 4?
​

Добрый день! Рад принять роль школьного учителя и помочь с построением графика функции и решением задания.

а) Для определения, при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения, необходимо найти диапазоны значений x, при которых функция y = x^2 - 6x + 5 больше нуля.

Для этого воспользуемся методом дискриминанта. Дискриминант D для данной функции равен: D = (-6)^2 - 4*1*5 = 36 - 20 = 16.

Если дискриминант положительный (D > 0), то уравнение имеет два различных корня и функция y = x^2 - 6x + 5 принимает положительные значения в промежутках между этими корнями.

Вычислим корни уравнения, приравняв y к нулю:
x^2 - 6x + 5 = 0.

Применяя квадратное уравнение, находим значения корней:
x1 = (6 + √D) / 2 = (6 + √16) / 2 = (6 + 4) / 2 = 10 / 2 = 5,
x2 = (6 - √D) / 2 = (6 - √16) / 2 = (6 - 4) / 2 = 2 / 2 = 1.

Таким образом, функция y = x^2 - 6x + 5 принимает положительные значения при значениях аргумента x, лежащих в интервалах (1, 5) и (-∞, 1) объединенных с (5, +∞).

б) Чтобы найти наименьшее значение функции, рассмотрим вершину параболы. Функция y = x^2 - 6x + 5 является параболой, а вершина этой параболы имеет координаты (h, k), где h = -b / 2a и k = f(h).

Функция имеет вид y = x^2 - 6x + 5, где a = 1, b = -6, c = 5. Используя формулу для нахождения вершины параболы, получаем:
h = -(-6) / (2*1) = 6 / 2 = 3.

Таким образом, координата h вершины параболы равна 3.
Далее, чтобы найти k = f(h), подставим значение h = 3 в функцию y = x^2 - 6x + 5:
k = 3^2 - 6(3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4.

Наименьшее значение функции равно -4.

в) Область значений функции определяется диапазоном возможных значений от функции. Мы уже установили, что функция принимает положительные значения в интервалах (1, 5) и (-∞, 1) объединенных с (5, +∞), а также наименьшее значение функции равно -4. Исходя из этого, область значений функции будет от -4 до плюс бесконечности.

г) Чтобы найти координаты точек пересечения графика функции с осью Ох, необходимо приравнять y к нулю и решить полученное уравнение.

Решим уравнение x^2 - 6x + 5 = 0:
(x - 1)(x - 5) = 0.

Поэтому график функции пересекает ось Ox в точках (1, 0) и (5, 0).

д) Промежутки возрастания и убывания функции определяются знаками производной функции. Если производная функции положительна, то функция возрастает, если отрицательна, то функция убывает. Чтобы найти производную функции y = x^2 - 6x + 5, продифференцируем функцию по переменной x:
y' = 2x - 6.

Поставим эту производную равной нулю и решим уравнение:
2x - 6 = 0,
2x = 6,
x = 3.

Получается, что производная равна нулю при x = 3.

Возьмем точки, которые находятся слева и справа от x = 3, например, x = 2 и x = 4, и проверим знаки производной в этих точках:
При x = 2: y' = 2 * 2 - 6 = 4 - 6 = -2 (отрицательное значение),
При x = 4: y' = 2 * 4 - 6 = 8 - 6 = 2 (положительное значение).

Из этого следует, что функция возрастает на промежутке (-∞, 3) и убывает на промежутке (3, +∞).

е) Чтобы выяснить, какие значения принимает функция при 0 < x < 4, подставим значения аргумента в функцию y = x^2 - 6x + 5:

При x = 1: y = 1^2 - 6(1) + 5 = 1 - 6 + 5 = 0,
При x = 2: y = 2^2 - 6(2) + 5 = 4 - 12 + 5 = -3,
При x = 3: y = 3^2 - 6(3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4.

Таким образом, при 0 < x < 4 функция принимает значения от 0 до -4.

Надеюсь, эти подробные объяснения помогут вам понять задание и решить его успешно! Если у вас возникнут еще вопросы, я с радостью помогу вам.