Задание 3. Решить задачу с кругов Эйлера-Венна.
В группе 50 студентов. Из них 33 студента любят болтать на занятиях, 23 – любят решать задачи, 21 – любят на занятиях спать. Среди тех, кто болтает на занятиях, постоянно засыпают 17 человек, а среди тех, кто решает задачи, засыпает только 13. Болтать и решать задачи умеют 18 человек, а 11 человек успевают на одном занятии сделать три дела. Сколько студентов вообще ничего не любят?

Задание 4. Разбить высказывание на элементарные и записать в виде формулы логики высказываний. Проверить с таблицы истинности, является ли тавтологией полученная формула.
Если Иван подготовится к экзамену, то он сдаст экзамен успешно и его мама будет довольна или он не сдаст экзамен и его мама расстроится

Задание 5. На экзамене предлагается 30 задач, из них 10 – по множествам, 8 – по математической логике, остальные – по теории вероятностей. Для сдачи экзамена студент должен решить 3 задачи. Какова вероятность для студента сдать экзамен, если он умеет решать 8 задач по множествам, 6 – по математической логике и 10 – по теории вероятностей?

Задание 1. Исследовалось свойство личности, наличие которого можно было оценить числами от 0 до 6. Выборка состояла из 30 человек. Были получены данные, приведённые ниже.
Нарисовать график (гистограмму) распределения относительных частот. Найти моду, медиану, среднее, размах, дисперсию, стандартное отклонение. Перевести результаты исследований в z-шкалу.
4, 3, 2, 3, 5, 3, 4, 1, 4, 4, 3, 3, 2, 1, 3, 6, 3, 5, 2, 3, 2, 2, 4, 2, 4, 4, 3, 3, 5, 6, 2.

Здравствуйте! Давайте решим задачи поочередно.

Задание 3. Решить задачу с кругов Эйлера-Венна.

Перед тем, как решать задачу, нарисуем круг Эйлера-Венна для данной задачи.

```
______
/ \
B / A \
___ / \ ___
| / \ |
| / \ |
| / \ |
| / \ |
| / \ |
| / \ |
| / \ |
| / \ |
___|___/______________________________________|
```

Пусть A – количество студентов, любящих болтать на занятиях,
B – количество студентов, любящих решать задачи,
C – количество студентов, любящих спать на занятиях.

Из условия задачи, у нас есть следующая информация:
A = 33 (любят болтать на занятиях),
B = 23 (любят решать задачи),
C = 21 (любят спать на занятиях).

Также известно, что:
A ∩ C = 17 (количество студентов, которые любят болтать и засыпают на занятиях),
B ∩ C = 13 (количество студентов, которые любят решать задачи и засыпают на занятиях).

Болтать (A) и решать задачи (B) умеют 18 студентов, а 11 студентов успевают на одном занятии сделать все три дела.

Теперь разберемся со второй частью задачи. Нужно найти количество студентов, которые ничего не любят. Для этого применим формулу включений и исключений.

Количество студентов, любящих хотя бы одно из трех дел, равно:
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
|A ∪ B ∪ C| = 33 + 23 + 21 - 18 - 17 - 13 + 11.
|A ∪ B ∪ C| = 40.

Всего в группе 50 студентов, поэтому количество студентов, которые ничего не любят, равно:
50 - 40 = 10.

Итак, вообще ничего не любят 10 студентов.

Задание 4. Разбить высказывание на элементарные и записать в виде формулы логики высказываний. Проверить с таблицы истинности, является ли тавтологией полученная формула.

Высказывание: "Если Иван подготовится к экзамену, то он сдаст экзамен успешно и его мама будет довольна или он не сдаст экзамен и его мама расстроится."

Индивидуальные элементарные высказывания:
P: Иван подготовится к экзамену.
Q: Иван сдаст экзамен успешно.
R: Мама Ивана будет довольна.
S: Мама Ивана будет расстроена.

Тогда высказывание можно записать в виде формулы логики высказываний:
(P → (Q ∧ R)) ∨ (¬P → S).

Теперь проверим его с помощью таблицы истинности:

```
P | Q | R | S | (P → (Q ∧ R)) ∨ (¬P → S) |
----------------------------------------------------
T | T | T | T | T |
T | T | T | F | F |
T | T | F | T | T |
T | T | F | F | F |
T | F | T | T | T |
T | F | T | F | F |
T | F | F | T | T |
T | F | F | F | T |
F | T | --- | --- | T |
F | F | --- | --- | T |
```

Так как полученное выражение принимает значение "Истина" при любых значениях исходных высказываний, то оно является тавтологией.

Задание 5. На экзамене предлагается 30 задач, из них 10 – по множествам, 8 – по математической логике, остальные – по теории вероятностей. Для сдачи экзамена студент должен решить 3 задачи. Какова вероятность для студента сдать экзамен, если он умеет решать 8 задач по множествам, 6 – по математической логике и 10 – по теории вероятностей?

Сколько всего задач на экзамене? Всего задач на экзамене 30.

Сколько задач студент умеет решать? Студент умеет решать 8 задач по множествам, 6 – по математической логике и 10 – по теории вероятностей. Всего студент умеет решать 8 + 6 + 10 = 24 задачи.

Сколько задач должен решить студент для сдачи экзамена? Студент должен решить 3 задачи.

Теперь найдем вероятность для студента сдать экзамен:
(количество задач, которые студент умеет решать) / (общее количество задач на экзамене) = 24 / 30 = 4 / 5 = 0.8.

Вероятность для студента сдать экзамен, если он умеет решать 8 задач по множествам, 6 – по математической логике и 10 – по теории вероятностей, равна 0.8.

Задание 1. Исследовалось свойство личности, наличие которого можно было оценить числами от 0 до 6. Выборка состояла из 30 человек. Были получены данные, приведённые ниже.

Данные: 4, 3, 2, 3, 5, 3, 4, 1, 4, 4, 3, 3, 2, 1, 3, 6, 3, 5, 2, 3, 2, 2, 4, 2, 4, 4, 3, 3, 5, 6, 2.

Нарисуем график (гистограмму) распределения относительных частот:

```
^
| *
| * * * * *
| * * * * * * *
|------------------------------->
0 1 2 3 4 5 6
```

На горизонтальной оси отложены значения "от 0 до 6", а на вертикальной оси относительные частоты.

Перейдем к расчету характеристик для данной выборки:

Мода – наиболее часто встречающееся значение. В данной выборке наиболее часто встречается значение 3, поэтому мода равна 3.

Медиана – среднее значение из упорядоченной выборки. Упорядочим выборку: 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6. Из полученной упорядоченной выборки средним значением является значение 3, поэтому медиана равна 3.

Среднее – среднее арифметическое всех значений выборки. Вычислим среднее: (4 + 3 + 2 + 3 + 5 + 3 + 4 + 1 + 4 + 4 + 3 + 3 + 2 + 1 + 3 + 6 + 3 + 5 + 2 + 3 + 2 + 2 + 4 + 2 + 4 + 4 + 3 + 3 + 5 + 6 + 2) / 30 = 120 / 30 = 4, поэтому среднее равно 4.

Размах – разница между максимальным и минимальным значением выборки. Максимальное значение 6, минимальное значение 1, размах равен 6 - 1 = 5.

Дисперсия – среднее квадратическое отклонение от среднего. Вычислим дисперсию:
((4-4)^2 + (3-4)^2 + (2-4)^2 + (3-4)^2 + (5-4)^2 + (3-4)^2 + (4-4)^2 + (1-4)^2 + (4-4)^2 + (4-4)^2 + (3-4)^2 + (3-4)^2 + (2-4)^2 + (1-4)^2 + (3-4)^2 + (6-4)^2 + (3-4)^2 + (5-4)^2 + (2-4)^2 + (3-4)^2 + (2-4)^2 + (2-4)^2 + (4-4)^2 + (2-4)^2 + (4-4)^2 + (4-4)^2 + (3-4)^2 + (3-4)^2 + (5-4)^2 + (6-4)^2 + (2-4)^2) / 30 = 78 / 30 = 2.6, поэтому дисперсия равна 2.6.

Стандартное отклонение – квадратный корень из дисперсии. Вычислим стандартное отклонение: √2.6 ≈ 1.61, поэтому стандартное отклонение равно примерно 1.61.

Перевод результатов исследований в z-шкалу (стандартную нормальную шкалу) – нормализация данных. Формула для z-преобразования: z = (x - μ) / σ, где z – значение в z-шкале, x – исходное значение, μ – среднее, σ – стандартное отклонение. Применим формулу для каждого значения из выборки:

z1 = (4 - 4) / 1.61 ≈ 0.
z2 = (3 - 4) / 1.61 ≈ -0.62.
z3 = (2 - 4) / 1.61 ≈ -1.24.
z4 = (3 - 4) / 1.61 ≈ -0.62.
z5 = (5 - 4) / 1.61 ≈ 0.62.
z6 = (3 - 4) / 1.61 ≈ -0.62.
z7 = (4 - 4) / 1.61 ≈ 0.
z8 = (1 - 4) / 1.61 ≈ -1.86.
z9 = (4 - 4) / 1.61 ≈ 0.
z10 = (4 - 4) / 1.61 ≈ 0.
z