В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно что BD1=5, CC1=3, B1C1=√7. Найдите синус угла между DB1 и плоскостью основания.

Добрый день!

Чтобы найти синус угла между DB1 и плоскостью основания прямоугольного параллелепипеда, нам понадобятся определенные геометрические понятия и формулы.

Первое, что нам нужно сделать, это понять, какие элементы параллелепипеда нам даны. Из условия задачи известно, что BD1 = 5, CC1 = 3 и B1C1 = √7.

Далее, чтобы найти синус угла между DB1 и плоскостью основания, нам нужно знать, как эти два вектора связаны друг с другом. Вектор DB1 - это вектор, идущий от точки D до точки B1 в прямоугольном параллелепипеде. Плоскость основания - это плоскость, на которой лежат точки А, В, С и D. Искомый угол - это угол между вектором DB1 и нормалью этой плоскости.

Теперь, чтобы найти нормаль плоскости основания, нам понадобится то, что мы уже знаем о прямоугольном параллелепипеде. Мы знаем, что в параллелепипеде противоположные стороны параллельны и имеют одинаковую длину. Таким образом, AB = CD = 5, AD = BC = 3 и AC = BD = √7 (здесь мы применяем теорему Пифагора).

Теперь мы можем построить векторы AB, AD и найти их произведение, чтобы найти нормаль плоскости основания. Выразим векторы AB и AD через их координаты:

AB = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1), где точки А и В соответствуют координатам (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) соответственно.

AD = (x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1), где точки A и D соответствуют координатам (x1, y1, z1) и (x3, y3, z3) соответственно.

Заменим координаты точек А, В, С и D значениями, которые мы уже знаем:

A = (0, 0, 0), B = (5, 0, 0), C = (5, 0, 3), D = (0, 0, 3).

Теперь вычислим векторы AB и AD:

AB = (5 - 0, 0 - 0, 0 - 0) = (5, 0, 0)

AD = (0 - 0, 0 - 0, 3 - 0) = (0, 0, 3)

Теперь найдём их векторное произведение, чтобы найти нормаль плоскости основания:

n = AB x AD, где x - операция векторного произведения.

n = (5, 0, 0) x (0, 0, 3)

n = (0*3 - 0*0, -5*3 - 0*0, 0*0 - 0*5) = (0, -15, 0).

Теперь у нас есть вектор нормали плоскости основания - (0, -15, 0).

Осталось вычислить синус угла между вектором DB1 и этой нормалью. Для этого используем формулу скалярного произведения:

sin(α) = (DB1 • n) / (|DB1| |n|), где • обозначает скалярное произведение, |DB1| - длина вектора DB1, |n| - длина вектора n.

Найдём длину вектора DB1:

|DB1| = √(BD1^2 + B1D1^2) = √(5^2 + (√7)^2) = √(25 + 7) = √32 = 4√2

Теперь найдём длину вектора n:

|n| = √(0^2 + (-15)^2 + 0^2) = √225 = 15

Теперь найдём скалярное произведение DB1 и n:

DB1 • n = (5, 0, √7) • (0, -15, 0) = 0*5 + (-15)*0 + √7*0 = 0

Теперь подставим полученные значения в формулу для синуса угла:

sin(α) = (DB1 • n) / (|DB1| |n|) = 0 / (4√2 * 15) = 0

Ответ: синус угла между DB1 и плоскостью основания прямоугольного параллелепипеда равен 0.

Надеюсь, ответ был понятен и полезен! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.