В поле комплексных чисел решить уравнение:
|z|+|z+i|=1.

Ответы

endd1

endd1 12.10.2020 06:38

|z|+|z+i|=1

Представим число виде x+yi :

|x+yi|+|x+yi+i|=1

|x+yi|+|x+(y+1)i|=1

$\sqrt{x^2+y^2} +\sqrt{x^2+(y+1)^2}=1$

$\sqrt{x^2+y^2} +\sqrt{x^2+y^2+2y+1}=1$

Замена: $x^2+y^2=a\geq 0$

$\sqrt{a} +\sqrt{a+2y+1}=1$

Возведем левую и правую части в квадрат:

$(\sqrt{a} +\sqrt{a+2y+1})^2=1^2$

$a +a+2y+1+2\sqrt{a} \cdot\sqrt{a+2y+1}=1$

$2a+2y+2\sqrt{a^2+2ay+a}=0$

$a+y+\sqrt{a^2+2ay+a}=0$

$\sqrt{a^2+2ay+a}=-(a+y)$

Еще раз возведем в квадрат, учитывая, что $a+y\leq 0$ :

$(\sqrt{a^2+2ay+a})^2=(-(a+y))^2$

a^2+2ay+a=a^2+2ay+y^2

a=y^2

Обратная замена:

x^2+y^2=y^2

x^2=0

$\Rightarrow x=0$

Подставим значение х:

$\sqrt{0^2+y^2} +\sqrt{0^2+(y+1)^2}=1$

$\sqrt{y^2} +\sqrt{(y+1)^2}=1$

|y| +|y+1|=1

Моули раскроем при трех случаях.

Если :

-y -y-1=1

-2y =2

y=-1 - решение не из рассматриваемого диапазона

Если $-1\leq y\leq 0$ :

-y +y+1=1

1=1

Верное равенство, значит любой у из отрезка $-1\leq y\leq 0$ - решение

Если :

y +y+1=1

2y=0

y=0 - решение не из рассматриваемого диапазона

Таким образом, решениями являются все числа вида z=x+yi , где $x=0,\ y\in[-1;\ 0]$ , или, записывая проще, z=yi , где $y\in[-1;\ 0]$

ответ: z=yi , где $y\in[-1;\ 0]$

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ

Другие вопросы по теме Алгебра

iobolenkov

iobolenkov 30.04.2020 12:59

Разложи на множители х^2-2=2*(х^2-1)=2*( дальше ответ)...

Таня5463

Таня5463 30.04.2020 12:59

Реши систему уравнений алгебраического сложения. Только чему равно u и v...

булати

булати 30.04.2020 12:59

Перша бригада може прокласти дорогу на 3 дні швидше, ніж друга. Якщо перша бригада пропрацює 6 днів, а потім друга — 4 дні, то вони прокладуть усю дорогу. За скільки днів може прокласти...

итд4

итд4 30.04.2020 12:59

4.Один із коренів рівняння у2+17у+с=0 дорівнює −12. Знайти другий корінь і вільний член с. 5. Знайти, при якому значенні а рівняння 3х2−6х+а=0 має один корінь і знайти цей корінь....

ИзмМалика

ИзмМалика 30.04.2020 12:59

Всем привет!Нужна по постройке графиков функций)...

lisofoxi

lisofoxi 30.04.2020 12:59

Какое из этих уравнение имеет бесконечное количество кореней? 1 - 3(x+5) = 3x+15 2 - 3(x+5) = 3x+5 3 - 3(x+5) = 3x+3 4 - 3(x+5) = 3x+8...

динакоровина

динакоровина 30.04.2020 12:59

Вариант I1. Решите неравенства:а) 4х2 – 4х – 15 0 ; в) х 2 1,7х ;б) х2 – 81 0 ; г) х (х + 3) – 6 3(х + 1) 2. Решите неравенства методом интервалов:а) (х + 8)(х – 3) 0 ; б) ; в) х3...

BrainNotBrain

BrainNotBrain 30.04.2020 12:59

При в якому значенні а система рівнянь.має або немає розвязку...

Zlowmak

Zlowmak 22.08.2019 09:00

√2х-1-√х-4=√х-1 . решить.дочь спрашивает,а я уже все позабыла...

progames2002

progames2002 22.08.2019 09:00

Разложить на множители: 1) xy+xz-ay-az 2 2 2 2 2)ax - bx + ax - ay - bx + by...

Популярные вопросы

Красворд на 10 слов Тема: олимпийские игры в древности (5 класс) Нужно...
2

Уекел 1. В 1237 г. поход на Русь предпринял:Tа) Чингисхан б) Батый в) Тохтамыш...
3

Речення: Сонцю над світом горіти., Є а)означено-особове, б)неозначено-особове...
2

Преобразуйте в многочлен:1)(a+7)^2 2)(2x-y)^2...
1

В результате межконфессионального конфликта государство S распалось. Этот пример...
2

8. Кількість атомів в молекулі Bas(PO4)2 становить:а) 8;б) 3;в) 11: г) 13...
3

V MUO2/1Получить – при кусков....
1

Вопрос №2 ? Укажите значение давления, которое соответствует нормальным условиям:...
2

35-бет, 5-тапсырма. Напиши нужные слова и словосочетания вместо многоточия...
2

Куля з центром у точці О дотикаєтся до площини a в точці А,а точка В лежить в...
2