Указать для заданной функции промежутки монотонности, промежутки выпуклости графика и экстремумы: y = 2x^3 - 3x^2 - 12x - 13 желателен развернутый ответ с нахождением области определения.

D(y) = R (а что еще можно ждать от полинома?)

Найдем первые 2 производные:

y'=2*3x^2-3*2x-12*1-13=6x^2-6x-12

y''=12x-6

(пользуемся линейностью (c1*f+c2*g)'=c1*f'+c2*g' и формулой (x^r)'=r*x^(r-1))

Функция возрастает там, где ее производная неотрицательна. Решаем неравенство y'>=0:

6x^2-6x-12>=0

x^2-x-2>=0

(x-2)(x+1)>=0

x in (-infty,-1] U [2, +infty)

При таких х функция возрастает, тогда, очевидно, функция убывает на [-1, 2].

В точке x=-1 производная меняет знак с плюса на минус, поэтому это точка максимума. В точке x=2 всё наоборот, точка минимума.

Функция выпукла, если ее вторая производная неотрицательна.

y''>=0

12x-6>=0

2x>=1

x>=1/2

При x>=1/2 функция выпукла, при x<=1/2 функция вогнута. x=1/2 - точка перегиба.