Три машинки двигаются по замкнутой трассе общей длиной 96 м. Скорость первой — 8 м/с, второй — 32 м/с, а третьей — среднее арифметическое между скоростями первой и второй. Каким должен быть самый большой промежуток времени между стартом двух из этих трёх машинок из одной точки, если все три машинки после прохождения трассы вернулись к этой же точке к одному и тому же времени?

12 сек.

Объяснение:

Длина трассы 96 м.

Скорости машинок: v1 = 8 м/с, v2 = 32 м/с, v3 = (8+32)/2 = 20 м/с.

Они все проехали разное количество кругов и вернулись одновременно к месту старта.

Первая машинка проезжает круг за 96/8 = 12 сек.

Вторая машинка проезжает круг за 96/32 = 3 сек.

Третья машинка проезжает круг за 96/20 = 4,8 сек.

Пусть первая машинка проехала n кругов за 12n сек.

Третья машинка подождала t сек и проехала m кругов за 4,8m сек.

Вторая машинка подождала еще t сек и проехала k кругов за 3k сек.

И они все три потратили на это одинаковое время.

12n = t + 4,8m = 2t + 3k сек

Числа 12n и (2t + 3k) очевидно целые, значит, (t + 4,8m) тоже целое.

Это значит, что m = 5 кругов. Тогда t + 4,8m = t + 4,8*5 = t + 24 сек.

12n = t + 24

t + 24 = 2t + 3k сек

Из первого равенства:

t = 12n - 24 = 12*(n-2)

То есть t должно быть кратно 12 сек.

Заметим, что чем меньше k, тем больше t, а нам нужно наибольшее t.

Вычитаем t из второго равенства:

24 = t + 3k.

Наименьшее k, при котором t будет кратно 12:

k = 4 круга, тогда t = 24 - 3*4 = 12 сек.

Подставляем в 1 равенство:

12n = t + 24 = 12 + 24 = 36

n = 36/12 = 3 круга.

Итак, первая машинка сделала 3 круга за 12*3 = 36 сек.

Вторая подождала 12 сек и сделала 5 кругов за 4,8*5 = 24 сек.

Общее время второй машинки 12 + 24 = 36 сек.

Третья подождала еще 12 сек и сделала 4 круга за 3*4 = 12 сек.

Общее время третьей машинки 24 + 12 = 36 сек.