Статистика. , ! за некоторый период времени в перми в ночное время было совершено 179 преступлений, из которых оказалось 40 краж мобильных телефонов. за тот же промежуток времени в населенном пункте березняки в ночное время было совершено 102 преступления, среди которых оказалось 65 краж мобильных телефонов. проверить гипотезу о равенстве вероятностей совершения квартирных краж ночью в перми и березняках при уровне значимости a = 0,01 . останется ли принятое решение в силе, если при тех же значениях частостей число преступлений, совершенных в этих городах возрастет в 7 раз?

Для проверки гипотезы о равенстве вероятностей совершения квартирных краж ночью в Перми и Березняках при уровне значимости a = 0,01, мы можем использовать критерий хи-квадрат.

Шаг 1: Формулировка нулевой и альтернативной гипотез
Нулевая гипотеза (H0): Вероятность совершения квартирных краж ночью в Перми и Березняках одинакова.
Альтернативная гипотеза (H1): Вероятность совершения квартирных краж ночью в Перми и Березняках различна.

Шаг 2: Вычисление ожидаемых частот
Для этого нам необходимо вычислить ожидаемые частоты для каждого города при условии равенства вероятностей. Ожидаемая частота (E) вычисляется как (общее число преступлений в городе * число краж мобильных телефонов в другом городе) / (общее число преступлений в обоих городах).
Для Перми:
E(кражи в Перми) = (общее число преступлений в Перми * число краж мобильных телефонов в Березняках) / (общее число преступлений в обоих городах)
= (179 * 65) / (179 + 102)
= 17,388
Для Березняков:
E(кражи в Березняках) = (общее число преступлений в Березняках * число краж мобильных телефонов в Перми) / (общее число преступлений в обоих городах)
= (102 * 40) / (179 + 102)
= 7,641

Шаг 3: Вычисление статистики критерия
Для вычисления статистики критерия, нам необходимо найти разницу между наблюдаемыми и ожидаемыми частотами для каждого города и возвести эту разницу в квадрат, а затем поделить на ожидаемую частоту.
Для Перми:
(наблюдаемая частота - ожидаемая частота в Перми)^2 / ожидаемая частота в Перми
= (40 - 17.388)^2 / 17.388
= 351.938
Для Березняков:
(наблюдаемая частота - ожидаемая частота в Березняках)^2 / ожидаемая частота в Березняках
= (65 - 7.641)^2 / 7.641
= 2529.632

Шаг 4: Вычисление значения статистики критерия
Значение статистики критерия (X^2) равно сумме всех вычисленных статистик для каждого города.
X^2 = 351.938 + 2529.632
= 2881.570

Шаг 5: Определение критического значения
Для уровня значимости a = 0,01 и количества степеней свободы (k - 1), где k - количество наблюдаемых частот, мы можем найти критическое значение (X^2_critical) из таблицы критических значений распределения хи-квадрат.
В данном случае k = 2, так как у нас есть две наблюдаемые частоты.
X^2_critical = 6.635 (значение в таблице)

Шаг 6: Принятие решения
Если значение статистики критерия (X^2) меньше критического значения (X^2_critical), то мы принимаем нулевую гипотезу и говорим, что вероятность совершения квартирных краж ночью в Перми и Березняках одинакова.
Если значение статистики критерия (X^2) больше критического значения (X^2_critical), то мы отвергаем нулевую гипотезу и говорим, что вероятность совершения квартирных краж ночью в Перми и Березняках различна.

Теперь, чтобы проверить, будет ли принятое решение в силе, если число преступлений возрастет в 7 раз, мы повторяем шаги 2-5 с новыми значениями преступлений.

Шаг 2 (обновленное значение числа преступлений):
В Перми: 179 * 7 = 1253
В Березняках: 102 * 7 = 714

Шаг 3 (обновленные ожидаемые частоты):
Для Перми:
E(кражи в Перми) = (1253 * 65) / (1253 + 714)
= 562.201
Для Березняков:
E(кражи в Березняках) = (714 * 40) / (1253 + 714)
= 232.799

Шаг 4 (обновленное значение статистики критерия):
Для Перми:
(наблюдаемая частота - ожидаемая частота в Перми)^2 / ожидаемая частота в Перми
= (40 - 562.201)^2 / 562.201
= 482.137
Для Березняков:
(наблюдаемая частота - ожидаемая частота в Березняках)^2 / ожидаемая частота в Березняках
= (65 - 232.799)^2 / 232.799
= 10057.556

Шаг 5 (обновленное значение статистики критерия):
X^2 = 482.137 + 10057.556
= 10539.693

Шаг 6 (обновленное принятое решение):
Так как значение статистики критерия (X^2) больше критического значения (X^2_critical), мы отвергаем нулевую гипотезу и говорим, что вероятность совершения квартирных краж ночью в Перми и Березняках различна даже при возрастании числа преступлений в 7 раз.