Sqrt(x-2)+sqrt(4-x)=x^2-6x+11
решить с замены переменной

Я буду искать только действительные корни :

sqrt(x-2)+sqrt(4-x)=x^2-6x+11

Возведем в квадрат:

2+2sqrt((x-2)(4-x))  = (x^2-6*x+11)^2

2+2sqrt(-x^2+6x-8)  = (x^2-6*x+11)^2

Пусть a  = -x^2+6x-8 ,тогда :

2+sqrt(a) =  (a+3)^2

2+sqrt(a) =  9+a^2-6*a

a^2-6a-2sqrt(a)+7 =  0

Пусть sqrt(a) =  y,тогда :

y^4-6y^2-2y+7  = 0 . Сразу можно заметить ,что один из корней  1.Предположим ,что это выражение y-1  .Тогда  (y-1)*a  = y^4-6*y^2-2*y+7 .а  = y^3+y^2-5y-7 .Тогда y^4-6y^2-2*y+7  =  (y-1)*(y^3+y^2-5y-7) =  0. Будем искать корни (y^3+y^2-5y-7) по формуле Кардано. Вычисления очень сложные ,поэтому я их опущу,можете почитать о этой формуле в интернете .В общем второй корень приблизительно равен y =  2.37. Найдем теперь а1  =  1,а2 =  5.6169. Вернемся к уравнению a  = -x^2+6x-8 ,тогда получаем x^2-6x+9 =  0 , x = 3  и x = 0.43,x  = 5.57 ,однако подставляя второй и третий корень в исходное уравнение видим ,что в таком случае подкоренное выражение <0,такие корни не подходят.

ответ : 3