Решите уравнение:
sin2x+sinx=cosx+1/2

с приложения Photomach

Объяснение:

Хорошо, давайте решим это уравнение пошагово.

Дано уравнение: sin(2x) + sin(x) = cos(x) + 1/2

Шаг 1: Объединим все три тригонометрические функции на одной стороне уравнения, а числа на другой стороне. Для этого вычтем cos(x) и 1/2 с обеих сторон уравнения:

sin(2x) + sin(x) - cos(x) - 1/2 = 0

Шаг 2: Объединим две синусы в один, чтобы упростить уравнение. Используем формулу синуса суммы:

2sin(x)cos(x) + sin(x) - cos(x) - 1/2 = 0

Шаг 3: Объединим члены, содержащие sin(x):

sin(x)(2cos(x) + 1) - (cos(x) + 1/2) = 0

Шаг 4: Объединим числитель и знаменатель в первом члене уравнения:

(2cos(x) + 1)sin(x) - (cos(x) + 1/2) = 0

Шаг 5: Распределим коэффициент sin(x) в первом члене уравнения:

2sin(x)cos(x) + sin(x) - cos(x) - 1/2 = 0

Шаг 6: Упростим уравнение:

sin(x)(2cos(x) + 1) - cos(x) - 1/2 = 0

Шаг 7: Давайте заменим cos(x) на sqrt(1 - sin(x)^2), используя тригонометрическую тождество cos^2(x) + sin^2(x) = 1:

sin(x)(2sqrt(1 - sin(x)^2) + 1) - sqrt(1 - sin(x)^2) - 1/2 = 0

Шаг 8: Раскроем скобки в уравнении:

2sin(x)sqrt(1 - sin(x)^2) + sin(x) - sqrt(1 - sin(x)^2) - 1/2 = 0

Шаг 9: Объединим члены, содержащие sqrt(1 - sin(x)^2):

(2sin(x) - 1)sqrt(1 - sin(x)^2) + sin(x) - 1/2 = 0

Шаг 10: Давайте заменим sin(x) на t:

(2t - 1)sqrt(1 - t^2) + t - 1/2 = 0

Шаг 11: Распределим t в первом члене уравнения:

2tsqrt(1 - t^2) - sqrt(1 - t^2) + t - 1/2 = 0

Шаг 12: Упростим уравнение:

2tsqrt(1 - t^2) + t - sqrt(1 - t^2) - 1/2 = 0

Шаг 13: Объединим члены, содержащие sqrt(1 - t^2):

(2t - 1)sqrt(1 - t^2) - sqrt(1 - t^2) + t - 1/2 = 0

Шаг 14: Вынесем sqrt(1 - t^2) за скобку:

(sqrt(1 - t^2))(2t - 1 - 1) + t - 1/2 = 0

Шаг 15: Упростим уравнение:

(sqrt(1 - t^2))(2t - 2) + t - 1/2 = 0

Шаг 16: Факторизуем (2t - 2):

(sqrt(1 - t^2))(2(t - 1)) + t - 1/2 = 0

Шаг 17: Упростим уравнение:

2(t - 1)(sqrt(1 - t^2)) + t - 1/2 = 0

Шаг 18: Объединим два одинаковых члена:

2(t - 1)(sqrt(1 - t^2)) + 2(t - 1)(1/2) = 0

Шаг 19: Упростим уравнение:

2(t - 1)(sqrt(1 - t^2) + 1/2) = 0

Шаг 20: Разделим обе стороны на 2:

(t - 1)(sqrt(1 - t^2) + 1/2) = 0

Таким образом, уравнение t - 1 = 0 (т.е. t = 1) или sqrt(1 - t^2) + 1/2 = 0.

Для решения последнего уравнения sqrt(1 - t^2) + 1/2 = 0, будем считать, что 1 - t^2 >= 0 (иначе корня из отрицательного числа не существует).

sqrt(1 - t^2) + 1/2 = 0
sqrt(1 - t^2) = -1/2

Т.к. корень из числа не может быть отрицательным, выражение sqrt(1 - t^2) = -1/2 равносильно отсутствию решений.

Итак, решение уравнения sin(2x) + sin(x) = cos(x) + 1/2 состоит только из одного значения: x = 1.