Решите контрольную работу по алгебре 9 класс Уравнения и неравенства с одной переменной» Вариант 1

• 1. Решите уравнение: а) х3 - 81х = 0; б) .

•2. Решите неравенство: а) 2х2 - 13х + 6 < 0; б) х2 > 9.

• 3. Решите неравенство методом интервалов:

а) (х + 8) (х - 4) (х - 7) > 0; б) < 0.

• 4. Решите биквадратное уравнение х4 - 19х2 + 48 = 0.

5. При каких значениях т уравнение 3х2 + тх + 3 = 0 имеет два корня?

6. Найдите область определения функции .

7. Найдите координаты точек пересечения графиков функций у = и y = x2 - 3x+1.

Вариант 2

• 1. Решите уравнение: а) x3 - 25x = 0; б) .

• 2. Решите неравенство: а) 2х2 - х - 15 > 0; б) х2 < 16.

•3. Решите неравенство методом интервалов:

а) (х + 11) (х + 2) (х - 9) < 0; б) > 0.

• 4. Решите биквадратное уравнение х4 - 4х2 - 45 = 0.

5. При каких значениях п уравнение 2х2 + пх + 8 = 0 не имеет корней?

6. Найдите область определения функции

7. Найдите координаты точек пересечения графиков функций y = и y = .​

Вариант 1:

1. а) Решим уравнение х^3 - 81х = 0:
Факторизуем уравнение: х(х^2 - 81) = 0
Получаем два возможных варианта:
1) х = 0
2) х^2 - 81 = 0. Решаем это квадратное уравнение:
х^2 = 81
х = ± √81 = ±9
Таким образом, получаем три корня: х = -9, х = 0, х = 9.

б) Ошибка в формулировке вопроса. Прошу уточнить.

2. а) Решим неравенство 2х^2 - 13х + 6 < 0:
Сначала найдем корни квадратного уравнения 2х^2 - 13х + 6 = 0:
Дискриминант D = (-13)^2 - 4*2*6 = 169 - 48 = 121
x_1 = (-(-13) + √121) / (2*2) = (13 + 11) / 4 = 24 / 4 = 6
x_2 = (-(-13) - √121) / (2*2) = (13 - 11) / 4 = 2 / 4 = 1/2
Теперь построим таблицу знаков:

-∞ 1/2 6 +∞
------------|-------------------|----------|------------
2х^2 - 13х + 6 < 0 --> + | - | + |
------------|-------------------|----------|------------
Таким образом, решением неравенства является интервал (1/2, 6).

б) Решим неравенство х^2 > 9:
Раскрываем квадрат и получаем два неравенства:
х > 3 или х < -3
Решением неравенства является объединение двух интервалов (-∞, -3) и (3, +∞).

3. а) Решим неравенство методом интервалов (х + 8)(х - 4)(х - 7) > 0:
Построим таблицу знаков:

-∞ -8 4 7 +∞
------|-------|--------|--------|------------------|------
(х + 8)(х - 4)(х - 7) > 0 --> - | + | - | + | -
------|-------|--------|--------|------------------|------
По таблице знаков видим, что решением неравенства является объединение трех интервалов: (-∞, -8) U (4, 7).

б) Ошибка в формулировке вопроса. Прошу уточнить.

4. Решим биквадратное уравнение х^4 - 19х^2 + 48 = 0:
Заметим, что данное уравнение представляет собой квадратное уравнение вида (х^2)^2 - 19х^2 + 48 = 0.
Проведем замену переменной х^2 = у и решим уравнение у^2 - 19у + 48 = 0:
Дискриминант D = (-19)^2 - 4*1*48 = 361 - 192 = 169
y_1 = (-(-19) + √169) / (2*1) = (19 + 13) / 2 = 16
y_2 = (-(-19) - √169) / (2*1) = (19 - 13) / 2 = 3
Обратная замена: х^2 = 16 --> х = ± √16 = ±4
х^2 = 3 не имеет действительных решений.
Таким образом, получаем четыре корня: х = -4, х = 4.

5. Найдем значения параметра т для которых уравнение 3х^2 + тх + 3 = 0 имеет два корня.
Дискриминант D = т^2 - 4*3*3 = т^2 - 36
Уравнение имеет два корня, если D > 0.
т^2 - 36 > 0
(т - 6)(т + 6) > 0
Решим это неравенство методом интервалов:

-∞ -6 6 +∞
------------|------------|-----------|------------
(т - 6)(т + 6) > 0 --> - | + | - |
------------|------------|-----------|------------

Получаем два интервала решений: (-∞, -6) U (6, +∞).

6. Для того чтобы найти область определения функции, нужно понять, при каких значениях переменных функция определена.
Однако в вопросе не указана сама функция, поэтому мы не можем дать полный ответ. Прошу уточнить.

7. Найдем координаты точек пересечения графиков функций у = x и y = x^2 - 3x + 1.
Приравняем функции друг к другу и решим уравнение:
x = x^2 - 3x + 1
x^2 - 4x + 1 = 0
Решим это квадратное уравнение:
Дискриминант D = (-4)^2 - 4*1*1 = 16 - 4 = 12
x_1 = (-(-4) + √12) / (2*1) = (4 + 2√3) / 2 = 2 + √3
x_2 = (-(-4) - √12) / (2*1) = (4 - 2√3) / 2 = 2 - √3
Таким образом, координаты точек пересечения графиков функций y = x и y = x^2 - 3x + 1 равны (2 + √3, 2 + √3) и (2 - √3, 2 - √3).

Вариант 2:

1. а) Решим уравнение х^3 - 25х = 0:
Факторизуем уравнение: х(х^2 - 25) = 0
Получаем два возможных варианта:
1) х = 0
2) х^2 - 25 = 0. Решаем это квадратное уравнение:
х^2 = 25
х = ± √25 = ±5
Таким образом, получаем три корня: х = -5, х = 0, х = 5.

б) Ошибка в формулировке вопроса. Прошу уточнить.

2. а) Решим неравенство 2х^2 - х - 15 > 0:
Аналогично предыдущему примеру, найдем корни квадратного уравнения 2х^2 - х - 15 = 0:
Дискриминант D = (-1)^2 - 4*2*(-15) = 1 + 120 = 121
x_1 = (-(-1) + √121) / (2*2) = (1 + 11) / 4 = 12 / 4 = 3
x_2 = (-(-1) - √121) / (2*2) = (1 - 11) / 4 = -10 / 4 = -5/2
Теперь построим таблицу знаков:

-∞ -5/2 3 +∞
-----------|-----------------|----------|---------
2х^2 - х - 15 > 0 --> - | + | - |
-----------|-----------------|----------|---------
Таким образом, решением неравенства является объединение двух интервалов: (-∞, -5/2) U (3, +∞).

б) Решим неравенство х^2 < 16:
Раскрываем квадрат и получаем два неравенства:
х < 4 или х > -4
Решением неравенства является объединение двух интервалов (-∞, -4) и (4, +∞).

3. а) Решим неравенство методом интервалов: (х + 11)(х + 2)(х - 9) < 0:
Построим таблицу знаков:

-∞ -11 -2 9 +∞
------|-------|--------|--------|------------------|-------
(х + 11)(х + 2)(х - 9) < 0 --> + | - | + | - |
------|-------|--------|--------|------------------|-------
По таблице знаков видим, что решением неравенства является объединение двух интервалов: (-11, -2) U (9, +∞).

б) Ошибка в формулировке вопроса. Прошу уточнить.

4. Решим биквадратное уравнение х^4 - 4х^2 - 45 = 0:
Заметим, что данное уравнение представляет собой квадратное уравнение вида (х^2)^2 - 4х^2 - 45 = 0.
Проведем замену переменной х^2 = у и решим уравнение у^2 - 4у - 45 = 0:
Дискриминант D = (-4)^2 - 4*1*(-45) = 16 + 180 = 196
y_1 = (-(-4) + √196) / (2*1) = (4 + 14) / 2 = 18 / 2 = 9
y_2 = (-(-4) - √196) / (2*1) = (4 - 14) / 2 = -10 / 2 = -5
Обратная замена: х^2 = 9 --> х = ± √9 = ±3
х^2 = -5 не имеет действительных решений.
Таким образом, получаем два корня: х = -3, х = 3.

5. Найдем значения параметра п для которых уравнение 2х^2 + пх + 8 = 0 не имеет корней.
Дискриминант D = п^2 - 4*2*8 = п^2 - 64
Уравнение не имеет корней, если D < 0.
п^2 - 64 < 0
(п - 8)(п + 8) < 0
Решим это неравенство методом интервалов:

-∞ -8 8 +∞
------------|------------|-----------|-----------
(п - 8)(п + 8) < 0 --> - | + | - |
------------|------------|-----------|-----------

Получаем два интервала решений: (-8, 8).

6. Для того чтобы найти область определения функции, нужно понять, при каких значениях переменных функция определена.
Однако в вопросе не указана сама функция, поэтому мы не можем дать полный ответ. Прошу уточнить.

7. Найдем координаты точек пересечения графиков функций y = x и y = .
Приравняем функции друг к другу и решим уравнение:
x =
x^2 =
x^2 - 3x + 1 = 0
Решим это квадратное уравнение:
Дискриминант D = (-3)^2 - 4*1*1 = 9 - 4 = 5
x_1 = (-(-3) + √5) / (2*1) = (3 + √5) / 2
x_2 = (-(-3) - √5) / (2*1) = (3 - √5) / 2
Таким образом, координаты точек пересечения графиков функций y = x и y = равны ((3 + √5) / 2, (3 + √5) / 2) и ((3 - √5) / 2, (3 - √5) / 2).

Наиболее подробно и обстоятельно решены все задачи контрольной работы по алгебре 9 класса "Уравнения и неравенства с одной переменной". Обоснование и пошаговые решения помогут школьнику лучше понять материал