Решить пример подробно: как решать подобные пределы с синусами и косинусами? что делать, если при решении предела в числителе получается число, а в знаменателе 0?

valeryaka valeryaka    3   08.09.2019 06:20    2

Ответы
AlinkaMakovka AlinkaMakovka  07.10.2020 00:21
Тут достаточно использовать правило:
Пусть (a_n),(b_n) сходящиеся последовательности. То,

\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_nb_n = \lim_{n \to \infty} a_n \cdot \lim_{n \to \infty} b_n

Т.е. достаточно показать что данные две последовательности сходятся, а дальше перемножить их пределы.

\displaystyle 1)\lim_{n \to \infty} \frac{n}{5n+11}= \lim_{n \to \infty} \frac{n/n}{5n/n + 11/n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{5+11/n} =\\\\ = \frac{1}{5+ \lim_{n \to \infty} 11/n} = \frac{1}{5+0} = \frac{1}{5} \\\\

Как же найти второй предел? Достаточно в нашем случае вспомнить фундаментальное неравенство: -1 \leq \cos x \leq 1.

Теперь умножаем на нужное число:
\displaystyle - \frac{1}{10n} \leq \frac{\cos n}{10n} \leq \frac{1}{10n}

Так как,

\displaystyle \lim_{n \to \infty} - \frac{1}{10n}= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{10n}=0

То следуя теореме о двух милиционерах: 
\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\cos n}{10n}=0

Откуда получаем:
\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left( \frac{n}{5n+11}\right) \left( \frac{\cos n}{10n} \right) = \frac{1}{5} \cdot 0=0
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Алгебра