Реши неравенство (f′(x))²>1, если задана функция:

f(x)=arcsin6x.

ответ должен быть записан так:
x принадлежит( дробь;дробь)
​

Для решения данного неравенства, сначала нам нужно найти производную функции f(x).

Функция f(x) = arcsin(6x) имеет вид арксинуса, поэтому для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования арксинуса.

Производная функции arcsin(u), где u = 6x, равна:

f'(x) = 6 / √(1 - (6x)²)

Теперь заменим f'(x) в исходном неравенстве и рассмотрим два случая:

1) (f'(x))² > 1:

(6 / √(1 - (6x)²))² > 1

Упростим неравенство:

(36 / (1 - (6x)²)) > 1

(36 > 1 - (6x)²)

Перенесем - (6x)² влево и объединим все члены:

(6x)² + 36x - 35 > 0

2) (f'(x))² < 1:

(6 / √(1 - (6x)²))² < 1

Упростим неравенство:

(36 / (1 - (6x)²)) < 1

(36 < 1 - (6x)²)

Перенесем - (6x)² влево и объединим все члены:

(6x)² + 36x - 37 < 0

Далее, чтобы решить квадратное неравенство, мы можем использовать график функции или метод интервалов.

Если применить графический метод, мы можем построить график функции (6x)² + 36x - 35 и определить интервалы, на которых значение функции больше нуля. Затем, аналогично, мы строим график функции (6x)² + 36x - 37 и определяем интервалы, на которых значение функции меньше нуля. Таким образом, мы найдем интервалы, которым соответствуют значения x, для которых выполняются или не выполняются исходные неравенства.

Альтернативно, метод интервалов позволяет нам разложить исходное квадратное неравенство на факторы и определить знаки на интервалах между корнями разложения.

Однако, в данном случае, так как у нас нет прямой формулы для нахождения корней квадратного уравнения (6x)² + 36x - 35 = 0 и (6x)² + 36x - 37 = 0, я могу предложить вам метод подбора значений x, чтобы определить интервалы, при которых выполняются исходные неравенства. Например, вы можете выбрать значения x из каждого интервала и подставить их в исходные неравенства, чтобы определить, когда они выполняются.

Надеюсь, это поможет вам разобраться в решении данного неравенства. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь обращаться.