Проверить является ли квадратичная форма положительно определенной, отрицательно определенной или неопределенной: -4x1^2-4x2^2+2x3^2-4x1x2+8x1x2-8x2x3

Для того чтобы проверить, является ли квадратичная форма положительно определенной, отрицательно определенной или неопределенной, нам необходимо найти дискриминант квадратичной формы.

В нашем случае, у нас есть следующая квадратичная форма:

Q(x1, x2, x3) = -4x1^2 - 4x2^2 + 2x3^2 - 4x1x2 + 8x1x2 - 8x2x3

Для начала, давайте преобразуем данную форму, чтобы сгруппировать все одинаковые члены:

Q(x1, x2, x3) = -4x1^2 + (8x1x2 - 4x1x2) - 4x2^2 + (2x3^2 - 8x2x3)

Q(x1, x2, x3) = -4x1^2 + 4x1x2 - 4x2^2 + 2x3^2 - 8x2x3

Теперь найдем дискриминант квадратичной формы. Для этого, нам нужно найти главные миноры матрицы, которая составлена из коэффициентов при квадратичных членах.

Матрица будет выглядеть следующим образом:

| -4 4 0 |
| 4 -4 -8 |
| 0 -8 2 |

Для главного минора первого порядка (минор D1), нам понадобится только первый элемент матрицы:

D1 = -4

Для главного минора второго порядка (минор D2), нам понадобятся первые два элемента главной диагонали матрицы и определитель получившейся матрицы:

D2 = |-4 4 |
| 4 -4 | = -4*(-4) - 4*4 = -16

Для главного минора третьего порядка (минор D3), нам понадобятся все элементы матрицы и определитель получившейся матрицы:

D3 = |-4 4 0 |
| 4 -4 -8 |
| 0 -8 2 | = -4*( (-4)*2 - (-8)*(-8) ) - 4*(4*2 - (-8)*0) + 0*(4*(-8) - (-4)*(-8))

= -4*(-16 + 64) - 4*8 + 0 = -4*48 - 32 = -192 - 32 = -224

Теперь давайте проанализируем полученные главные миноры.

Если все главные миноры положительны, то квадратичная форма положительно определена.
Если все главные миноры отрицательны через четное число главных миноров, то квадратичная форма отрицательно определена.
Если главные миноры имеют разные знаки, или через нечетное число главных миноров равны нулю, то квадратичная форма неопределена.

В нашем случае, главные миноры имеют следующие значения:
D1 = -4
D2 = -16
D3 = -224

Исходя из данных значений, мы видим, что все три главных минора отрицательны. Так как через четное число главных миноров, квадратичная форма является отрицательно определенной.

Ответ: Квадратичная форма -4x1^2 - 4x2^2 + 2x3^2 - 4x1x2 + 8x1x2 - 8x2x3 является отрицательно определенной.