При каком наименьшем натуральном значении n уравнение имеет один корень x^3 + 3x^2 - 45x + n = 0

Рассмотрим функцию f(x) = x^3 + 3x^2 - 45x + n. Найдём её экстремумы.
f'(x) = 3x^2 + 6x - 45 = 3(x^2 + 2x - 15) = 3(x + 5)(x - 2)
В точке x = -5 производная меняет знак с плюса на минус; это точка максимума. В точке x = 2 - точка минимума.

Один корень у этого уравнения всегда есть. Ещё вещественных корней у него не будет в двух случаях:
a) f(-5) < 0
б) f(2) > 0

Разбираем случаи.
f(-5) = -125 + 75 + 225 + n = 175 + n - больше нуля при всех натуральных n, случай а) не реализуется никогда
f(2) = 8 + 12 - 90 + n = n - 70 > 0 при n >= 71.

ответ. 71