При каких значениях параметра b неравенство x^2+2bx-(b-6)> 0 верно для всех значений x?

  x^2+2bx-(b-6)>0

график парабола, ветви вверх, поэтому  >0  при любом х случится при условии расположения параболы целиком выше оси абсцисс (ОХ), значит нет пересечений о осью ОХ, значит нет нулей у функции, т.е.нет корней у квадратного уравнения, а это, в свою очередь, бывает, когда дискриминант квадратного уравнения <0, решаем:

х2+2bx -(b-6) = 0

D=4b2 +4(b-6) = 4b2+4b-24

4b2+4b-24<0 |:4

решаем неравенство:

b2+b-6<0

b2+b-6=0

D=1+24=25

b(1) = (-1+5)/2 = 2

b(2) = (-1-5) / 2 = -3

    -3       2          x

oo>

      

D<0 при b∈(-3; 2) ⇒ при b∈(-3; 2) y>0

Для решения данной задачи необходимо найти значения параметра b, при которых данное неравенство будет выполняться для всех значений переменной x.

Для начала, обратимся к свойствам квадратного трёхчлена. Если у нас есть квадратный трёхчлен вида ax^2 + bx + c, то его график представляет собой параболу, которая может быть направлена вверх или вниз в зависимости от знака коэффициента a. Если коэффициент a положительный, то парабола направлена вверх; если отрицательный, то парабола направлена вниз.

В данном уравнении имеем квадратный трёхчлен x^2 + 2bx - (b-6), поэтому коэффициент a равен 1.

Чтобы парабола была направлена вверх и неравенство выполнялось для всех значений x, необходимо, чтобы дискриминант квадратного трёхчлена (D = b^2 - 4ac) был меньше нуля.

В нашем случае, а = 1 и с = -(b-6), поэтому положим:

D < 0
b^2 - 4ac < 0
b^2 - 4(1)(-(b-6)) < 0
b^2 + 4b - 24 < 0

Решим это неравенство:
b^2 + 4b - 24 < 0

Для решения данного неравенства воспользуемся методом представления в виде произведения двух линейных множителей:
(b - 4)(b + 6) < 0

Теперь найдем значения b, при которых данное неравенство выполняется.

1. Когда (b - 4) < 0 и (b + 6) > 0:
b < 4 и b > -6

2. Когда (b - 4) > 0 и (b + 6) < 0:
b > 4 и b < -6

Теперь объединим полученные интервалы:
b < 4 и b > -6, или -6 < b < 4

Таким образом, при значениях параметра b, принадлежащих интервалу (-6, 4), неравенство x^2 + 2bx - (b-6) > 0 будет выполняться для всех значений переменной x.