При каких значениях числового параметра а неравенство: (a+1) x^2-4(a+1)(3a+1)> 0 верно при всех значениях х? решить от начала и до конца

Во-первых, при а = -1, оно неверно, потому что получается 0 - 0 > 0.

Значит, имеет смысл рассматривать а ≠ -1.

1. Если а < - 1, то при сокращении (а+1) знак неравенства меняется.

x^2 - 4(3a+1) < 0

x^2 < 4(3a+1)

При любом а < - 1/3 выражение справа будет отрицательно, и неравенство неверно ни при каком х.

При любом а > - 1/3 можно подобрать такое х, что выражение будет ложно.

2. Если а > - 1, то знак неравенства остаётся.

x^2 - 4(3a+1) > 0

x^2 > 4(3a+1)

При 3а+1 < 0 будет х^2 больше отрицательного числа, это верно при любом х.

ответ: a ∈ (-1; - 1/3)