При каких а значение дроби а³+108-3а²-36а=0 деленное на а²-9 равно нулю

Чтобы решить эту задачу, мы должны выразить дробь в виде двух множителей, поскольку вопрос говорит о делении дроби на а²-9, что означает, что а²-9 не может быть равно нулю.

1. Начнем с раскрытия скобок в выражении а³+108-3а²-36а=0:
а³+108-3а²-36а = 0.

2. Заметим, что в выражении есть две группы соответствующих членов: а³ и -3а², а также 108 и -36а. Давайте сгруппируем эти члены:
(а³ - 3а²) + (108 - 36а) = 0.

3. Факторизуем каждую группу:
а²(а - 3) - 36(а - 3) = 0.

4. Заметим, что у нас есть общие множители в каждой группе: (а - 3). Вынесем их за скобки:
(а - 3)(а² - 36) = 0.

5. Упростим выражение:
(а - 3)(а + 6)(а - 6) = 0.

6. Здесь мы получили произведение трех множителей, равное нулю. По свойству нулевого произведения, это значит, что каждый из множителей может быть равен нулю:
а - 3 = 0, или
а + 6 = 0, или
а - 6 = 0.

7. Решаем каждое уравнение по отдельности:
а - 3 = 0: а = 3.
а + 6 = 0: а = -6.
а - 6 = 0: а = 6.

Ответ: значение а, при котором дробь (а³+108-3а²-36а)/(а²-9) равна нулю, равно а = 3, а = -6 или а = 6.