ОЧЕНЬ ОЧЕНЬ Исследовать на монотонность функцию y= 2x3 + 3x2 - x + 5
Исследовать на монотонность функцию y = (3х−1)/3х+1.
Доказать, что функция y= x9 + 4x3 + 1x - 10 возрастает на всей числовой прямой

Для исследования на монотонность функции, мы должны оценить знак производной функции и проверить, изменяется ли знак производной на всей числовой прямой.

1. Давайте начнем с функции y = 2x^3 + 3x^2 - x + 5.

Шаг 1: Найдем производную функции.
Производная функции y = 2x^3 + 3x^2 - x + 5 будет равна y' = 6x^2 + 6x - 1.

Шаг 2: Найдем точки, где производная равна нулю.
Нам нужно решить уравнение 6x^2 + 6x - 1 = 0. Мы можем использовать формулу квадратного корня или метод проб и ошибок, чтобы найти корни этого уравнения. Решением является x ≈ -1,02 и x ≈ 0,18.

Шаг 3: Определение знака производной на разных интервалах числовой прямой.
Мы можем взять тестовую точку внутри и вне интервалов (-∞, -1,02), (-1,02, 0,18) и (0,18, +∞). Например, мы можем взять x = -2, x = 0 и x = 1.

Подставим x = -2 в y' = 6x^2 + 6x - 1: y' ≈ 6(-2)^2 + 6(-2) - 1 ≈ 24 - 12 - 1 = 11 > 0.
Отрицательный знак примеро для значения x = -2 указывает на то, что функция убывает в интервале (-∞, -1,02).

Подставим x = 0 в y' = 6x^2 + 6x - 1: y' ≈ 6(0)^2 + 6(0) - 1 = -1 < 0.
Отрицательный знак примеро для значения x = 0 указывает на то, что функция убывает в интервале (-1,02, 0,18).

Подставим x = 1 в y' = 6x^2 + 6x - 1: y' ≈ 6(1)^2 + 6(1) - 1 = 11 > 0.
Положительный знак примеро для значения x = 1 указывает на то, что функция возрастает в интервале (0,18, +∞).

Шаг 4: Сводная таблица знаков производной и интервалов монотонности.
Интервал | (-∞, -1,02) | (-1,02, 0,18) | (0,18, +∞)
Знак производной | + | - | +
Монотонность | Возрастает | Убывает | Возрастает

Итак, функция y = 2x^3 + 3x^2 - x + 5 возрастает на интервале (-∞, -1,02) и (0,18, +∞), и убывает на интервале (-1,02, 0,18).

2. Перейдем к функции y = (3x−1)/(3x+1).

Шаг 1: Найдем производную функции.
Производная функции y = (3x−1)/(3x+1) будет равна y' = (9x + 2)/(3x + 1)^2.

Шаг 2: Найдем точки, где производная равна нулю.
Мы должны найти значения x, где (9x + 2) = 0 и (3x + 1)^2 ≠ 0. Очевидно, что (9x + 2) не равно нулю для любых реальных значений x, значит у данной функции нет точек, где производная равна нулю.

Шаг 3: Определение знака производной на разных интервалах числовой прямой.
Мы можем взять любую тестовую точку внутри и вне интервалов (-∞, +∞). Например, мы можем взять x = -1, x = 0 и x = 1.

Подставим x = -1 в y' = (9x + 2)/(3x + 1)^2: y' ≈ (9(-1) + 2)/(3(-1) + 1)^2 = -7/4 < 0.
Отрицательный знак примеро для значения x = -1 указывает на то, что функция убывает на всей числовой прямой.

Подставим x = 0 в y' = (9x + 2)/(3x + 1)^2: y' ≈ (9(0) + 2)/(3(0) + 1)^2 = 2/1 > 0.
Положительный знак примеро для значения x = 0 указывает на то, что функция возрастает на всей числовой прямой.

Подставим x = 1 в y' = (9x + 2)/(3x + 1)^2: y' ≈ (9(1) + 2)/(3(1) + 1)^2 = 11/16 > 0.
Положительный знак примеро для значения x = 1 указывает на то, что функция возрастает на всей числовой прямой.

Шаг 4: Сводная таблица знаков производной и интервалов монотонности.
Интервал | (-∞, +∞)
Знак производной | -
Монотонность | Убывает

Итак, функция y = (3x−1)/(3x+1) убывает на всей числовой прямой.

3. Теперь давайте докажем, что функция y = x^9 + 4x^3 + x - 10 возрастает на всей числовой прямой.

Шаг 1: Найдем производную функции.
Производная функции y = x^9 + 4x^3 + x - 10 будет равна y' = 9x^8 + 12x^2 + 1.

Шаг 2: Убедимся, что производная всегда положительна.
Мы можем заметить, что у нас есть только положительные слагаемые в функции. Поэтому мы можем заключить, что производная всегда будет положительной на всей числовой прямой.

Это означает, что функция y = x^9 + 4x^3 + x - 10 возрастает на всей числовой прямой.

Выводы:
1. Функция y = 2x^3 + 3x^2 - x + 5 возрастает на интервале (-∞, -1,02) и (0,18, +∞), и убывает на интервале (-1,02, 0,18).
2. Функция y = (3x−1)/(3x+1) убывает на всей числовой прямой.
3. Функция y = x^9 + 4x^3 + x - 10 возрастает на всей числовой прямой.