очень Найдите производную функции
f(x) = x8
f(x) = -4x3
f(x) = 3x7 – 6x5 – 4x2 + 17
f(x) = (х3 – 2)(х2 +1)
f(x) = (3-х)5
f(x) = cos 6x
f(x) = sin2x
f(x) = tgx + ctgx
Вычислите значение производной данной функции в данной функции в точке х0
f(x) = х4 – 2х3 + х, х0 = - 1
Решите неравенство f ′(x) < 0
f(x) = 2x3 + 12x2
Вычислите f ′(x) = 0
f (x) = 9х2 + 72х

Хорошо, давайте по очереди рассмотрим каждый вопрос и найдем производные данных функций.

1. Производная функции f(x) = x^8:
Для нахождения производной данной функции используем степенное правило дифференцирования. Правило гласит, что производная функции x^n равна n * x^(n-1).
Применяем это правило к нашей функции:
f'(x) = 8 * x^(8-1) = 8x^7.
Таким образом, производная функции f(x) = x^8 равна f'(x) = 8x^7.

2. Производная функции f(x) = -4x^3:
Аналогично предыдущему случаю, применяем степенное правило дифференцирования:
f'(x) = -4 * 3 * x^(3-1) = -12x^2.
Таким образом, производная функции f(x) = -4x^3 равна f'(x) = -12x^2.

3. Производная функции f(x) = 3x^7 – 6x^5 – 4x^2 + 17:
В данной функции у нас несколько слагаемых, поэтому мы будем дифференцировать каждое слагаемое по отдельности.
Применяем степенное правило дифференцирования для каждого слагаемого:
f'(x) = 3 * 7 * x^(7-1) - 6 * 5 * x^(5-1) - 4 * 2 * x^(2-1) + 0 = 21x^6 - 30x^4 - 8x.
Таким образом, производная функции f(x) = 3x^7 – 6x^5 – 4x^2 + 17 равна f'(x) = 21x^6 - 30x^4 - 8x.

4. Производная функции f(x) = (x^3 – 2)(x^2 + 1):
Для нахождения производной данной функции мы будем использовать правило дифференцирования произведения функций, которое гласит, что производная произведения функций f(x)g(x) равна f'(x)g(x) + f(x)g'(x).
Применяем это правило к нашей функции:
f'(x) = (3 * x^2)(x^2 + 1) + (x^3 – 2)(2 * x) = 3x^4 + 3x^2 + 2x^4 - 4x = 5x^4 + 3x^2 - 4x.
Таким образом, производная функции f(x) = (x^3 – 2)(x^2 + 1) равна f'(x) = 5x^4 + 3x^2 - 4x.

5. Производная функции f(x) = (3-x)^5:
Нам нужно применить правило дифференцирования функции вида (a-x)^n, которое гласит, что производная данной функции равна -n * (a-x)^(n-1).
Применяем это правило к нашей функции:
f'(x) = -5 * (3-x)^(5-1) = -5 * (3-x)^4.
Таким образом, производная функции f(x) = (3-x)^5 равна f'(x) = -5 * (3-x)^4.

6. Производная функции f(x) = cos(6x):
Мы знаем, что производная функции cos(x) равна -sin(x). В данном случае мы имеем функцию cos(6x), поэтому нужно учитывать и правило дифференцирования сложной функции, где производная внешней функции умножается на производную внутренней функции.
Применяем это правило к нашей функции:
f'(x) = -sin(6x) * 6 = -6sin(6x).
Таким образом, производная функции f(x) = cos(6x) равна f'(x) = -6sin(6x).

7. Производная функции f(x) = sin^2(x):
Мы знаем, что производная функции sin(x) равна cos(x). В данном случае у нас возведение функции sin(x) в квадрат, поэтому мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции, где производная внешней функции умножается на дважды производную внутренней функции.
Применяем это правило к нашей функции:
f'(x) = 2sin(x) * cos(x) = 2sin(x)cos(x).
Таким образом, производная функции f(x) = sin^2(x) равна f'(x) = 2sin(x)cos(x).

8. Производная функции f(x) = tg(x) + ctg(x):
Мы знаем, что производная функции tg(x) равна sec^2(x), а производная функции ctg(x) равна -csc^2(x).
Применяем эти правила к нашей функции:
f'(x) = sec^2(x) - csc^2(x).
Таким образом, производная функции f(x) = tg(x) + ctg(x) равна f'(x) = sec^2(x) - csc^2(x).

Теперь рассмотрим вопросы, где нужно найти значение производной в точке x0 или решить неравенство.

9. Вычисляем значение производной функции f(x) = x^4 – 2x^3 + x в точке x0 = -1:
Мы найдем производную данной функции и подставим в нее значение x0 = -1, чтобы получить искомое значение.
f'(x) = 4x^3 - 6x^2 + 1.
f'(-1) = 4(-1)^3 - 6(-1)^2 + 1 = 4(-1) - 6(1) + 1 = -4 - 6 + 1 = -9.
Таким образом, значение производной функции f(x) = x^4 – 2x^3 + x в точке x0 = -1 равно -9.

10. Решаем неравенство f'(x) < 0 для функции f(x) = 2x^3 + 12x^2:
Мы найдем производную данной функции и составим неравенство.
f'(x) = 6x^2 + 24x.
6x^2 + 24x < 0.
Факторизуем это неравенство:
6x(x + 4) < 0.
Мы видим, что знак меняется при x = 0 и x = -4.
Построим таблицу знаков:
-4 | 0 | +∞
———————————
+ | - | +
Таким образом, решением неравенства f'(x) < 0 для функции f(x) = 2x^3 + 12x^2 является интервал (-∞, -4) объединение (0, +∞).

11. Вычисляем значения x, при которых производная функции f(x) = 9x^2 + 72x равна 0:
Мы найдем такие значения x, при которых f'(x) = 0, то есть корни уравнения 9x^2 + 72x = 0.
Факторизуем это уравнение:
9x(x + 8) = 0.
Получаем два решения:
x1 = 0, x2 = -8.
Таким образом, значения x, при которых производная функции f(x) = 9x^2 + 72x равна 0, равны x1 = 0 и x2 = -8.

Надеюсь, что ответы были достаточно подробными и понятными для школьника. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.