Алгебра: Найти предел f=(1-cos(7x)^2)/(x^2) при х- 0

Сделаем замену сначала: 7x=t, т.е Поскольку x- 0, то и 7x- 0, значит и t- 0. Подставляем в наш предел то что получилось с учетом замены: Поскольку нас неопределенность 0/0 можно использовать правило Лопиталя. Получаем: Возможно я не так понял задание и там имелось в виду: Тогда используем ту же самую замену.: Видим что здесь произведение двух первых замечательных пределов , а именно: Используем этот факт и получим: Как-то так. Но обязательно проверь....

Найти предел f=(1-cos(7x)^2)/(x^2) при х-> 0

Ответы

Слон145 27.05.2020 11:33

Сделаем замену сначала: 7x=t, т.е $x=\frac{t}{7}$

Поскольку x->0, то и 7x->0, значит и t->0.

Подставляем в наш предел то что получилось с учетом замены:

$\lim_{t \to 0} \frac{1-cos(t^2)}{\frac{t^2}{7^2}}= \\=\lim_{t \to 0} \frac{49(1-cos(t^2))}{t^2}$

Поскольку нас неопределенность 0/0 можно использовать правило Лопиталя.

Получаем:

$\lim_{t \to 0} \frac{49(2t\cdot sin(t^2))}{2t}=\\ =\lim_{t \to 0} 49(sin(t^2))=0$

Возможно я не так понял задание и там имелось в виду:

$\lim_{x \to 0} \frac{1-cos^2(7x)}{x^2}$

Тогда используем ту же самую замену.:

$\lim_{t \to 0} \frac{49(1-cos^2(t))}{t^2}= \\= \lim_{t \to 0} \frac{49(sin^2(t))}{t^2}= \\=\lim_{t \to 0} 49\cdot \frac{(sin(t))}{t}\cdot \frac{(sin(t))}{t}$