Найти остаток от деления многочлена на двучлен x^3+3x-14/x-4

Чтобы найти остаток от деления многочлена на двучлен, воспользуемся алгоритмом деления многочленов. Давайте разберем этот процесс пошагово:

1. Располагаем оба многочлена в упорядоченном виде.
- Делимое: x^3 + 3x - 14
- Делитель: x - 4

2. На данном этапе мы должны проверить, является ли наш делитель "x - 4" лидирующим мономом делителя "x^3 + 3x - 14". То есть, старшая степень делителя должна быть больше или равна старшей степени делимого. В данном случае степень делителя (1) меньше степени делимого (3), поэтому мы можем продолжить деление.

3. Начинаем деление, деля первый член делимого "x^3" на лидирующий моном делителя "x". Результат - x^2.

4. Умножаем полученный результат ("x^2") на делитель ("x - 4") и записываем его под делимым.
- (x^2)(x - 4) = x^3 - 4x^2

5. Вычитаем полученное произведение из делимого многочлена.
- (x^3 + 3x - 14) - (x^3 - 4x^2) = 3x + 4x^2 - 14

6. Теперь у нас есть новое делимое "3x + 4x^2 - 14". Поиск лидирующего монома в делителе "x - 4" показывает, что это "4x^2".
- Делим (3x + 4x^2 - 14) на (4x^2).

7. Делим члены нового делимого многочлена на лидирующий моном делителя:
- 4x^2 ÷ 4x^2 = 1

8. Умножаем результат ("1") на делитель ("x - 4") и записываем его под делимым.
- (1)(x - 4) = x - 4

9. Вычитаем полученное произведение из делимого многочлена.
- (3x + 4x^2 - 14) - (x - 4) = 3x + 4x^2 - 14 - x + 4 = 4x^2 + 2x - 10

10. Теперь у нас есть новое делимое "4x^2 + 2x - 10". Поиск лидирующего монома в делителе "x - 4" показывает, что это в данном случае "2x".
- Делим (4x^2 + 2x - 10) на (x - 4).

11. Делим члены нового делимого многочлена на лидирующий моном делителя:
- 2x ÷ 2x = 1

12. Умножаем результат ("1") на делитель ("x - 4") и записываем его под делимым.
- (1)(x - 4) = x - 4

13. Вычитаем полученное произведение из делимого многочлена.
- (4x^2 + 2x - 10) - (x - 4) = 4x^2 + 2x - 10 - x + 4 = 4x^2 + x - 6

14. Проверяем степень полученного остатка (4x^2 + x - 6). В данном случае, остаток имеет степень меньше степени делителя, поэтому деление завершено.

Таким образом, остаток от деления многочлена (x^3 + 3x - 14) на двучлен (x - 4) равен (4x^2 + x - 6).