Найдите сумму всех целых значений параметра a, при которых система уравнений x^2+(2a-2)x+a^2-2a-3=0; √(x^2+(y-a)^2) + √(x+4)^2+(y-a)^2)=4 имеет ровно одно решение.

Для начала, рассмотрим первое уравнение системы:
x^2 + (2a-2)x + a^2 - 2a - 3 = 0

Это квадратное уравнение относительно переменной x. Чтобы найти значения a, при которых это уравнение имеет одно решение, необходимо, чтобы его дискриминант был равен нулю.

Дискриминант квадратного уравнения D вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac, где a, b и c - коэффициенты данного уравнения.

Применим эту формулу к нашему уравнению:
D = (2a-2)^2 - 4(a^2 - 2a - 3)
D = 4a^2 - 8a + 4 - 4a^2 + 8a + 12
D = 16

Таким образом, уравнение будет иметь одно решение для любого значения параметра a.

Теперь рассмотрим второе уравнение системы:
√(x^2 + (y-a)^2) + √((x+4)^2 + (y-a)^2) = 4

В данном уравнении есть две подкоренные суммы. Чтобы уравнение имело одно решение, эти две суммы должны быть одинаковыми. Давайте это проверим.

Рассмотрим первую подкоренную сумму: √(x^2 + (y-a)^2)
И вторую подкоренную сумму: √((x+4)^2 + (y-a)^2)

Если мы возведем каждую из этих сумм в квадрат, то получим следующее:
(x^2 + (y-a)^2) = x^2 + y^2 - 2ay + a^2
((x+4)^2 + (y-a)^2) = x^2 + 8x + 16 + y^2 - 2ay + a^2

Теперь мы можем установить равенство между этими двумя выражениями:
x^2 + y^2 - 2ay + a^2 = x^2 + 8x + 16 + y^2 - 2ay + a^2

Замечаем, что многие члены пропадают. Сократим их:
- 2ay + a^2 = 8x + 16

Теперь мы можем рассмотреть систему из двух уравнений:
1) x^2 + (2a-2)x + a^2 - 2a - 3 = 0
2) - 2ay + a^2 = 8x + 16

Теперь найдем сумму всех целых значений параметра a, при которых данная система имеет ровно одно решение.

Для этого мы можем воспользоваться методом подстановки. Найдем a из второго уравнения и подставляем его в первое уравнение:

a^2 - 2ay - 8x - 16 = 0

Мы получили квадратное уравнение относительно переменной a. Чтобы найти сумму всех целых значений параметра a, мы должны найти корни этого уравнения.

Применяем дискриминантную формулу и находим дискриминант D1:
D1 = (-2y)^2 - 4(1)(-8x - 16)
D1 = 4y^2 + 32x + 64

В соответствии с условием, чтобы иметь ровно одно решение, дискриминант должен быть равен нулю.

Таким образом, получаем уравнение:
4y^2 + 32x + 64 = 0

Далее, найдём D1 = b^2 - 4ac:
D1 = 32^2 - 4 * 4 * 64 = 1024 - 1024 = 0

Таким образом, у нас имеется только одно значение y, при котором D1 = 0. Подставим это значение во второе уравнение системы:

- 2ay + a^2 = 8x + 16

Если у нас есть только одно возможное значение для y (например, y = 0), то мы можем выразить a из этого уравнения:

a^2 = 8x + 16
a = ±√(8x + 16)

Теперь, чтобы найти сумму всех целых значений параметра a, мы должны учесть все возможные значения для x и подставить их в это уравнение.

Таким образом, сумма всех целых значений параметра a, при которых система имеет ровно одно решение, будет равна сумме всех целых значений параметра a, полученных при подстановке всех возможных значений x в уравнение a = ±√(8x + 16).

Надеюсь, что объяснение было понятным и обстоятельным. Если есть какие-то непонятные моменты или требуется дополнительное объяснение, пожалуйста, сообщите, и я с удовольствием помогу!