Найдите площадь фигуры ограниченной линиями y=-3x², y=0,x=1,x=2. ​

Хорошо, давайте начнем!

Чтобы найти площадь фигуры ограниченной этими линиями, мы должны найти площадь между криволинейным графиком y = -3x² и осью x, а затем вычесть площадь прямоугольника, ограниченного вертикальными линиями x = 1 и x = 2.

Так как график y = -3x² представляет параболу, то сначала найдем точки пересечения этой параболы с осью x.

Подставляем y = 0 в уравнение y = -3x², чтобы найти x:
0 = -3x²
Теперь решим это уравнение:
0 = -3x²
Поделим обе стороны на -3:
0/(-3) = -3x²/(-3)
0 = x²
Теперь возьмем корень обеих сторон уравнения:
√0 = √x²
0 = x

Мы нашли, что точка пересечения параболы y = -3x² и оси x находится в точке (0, 0).

Теперь найдем другую точку пересечения параболы и оси x. Подставляем x = 1 в уравнение y = -3x²:
y = -3(1)²
y = -3(1)
y = -3

Таким образом, вторая точка пересечения находится в точке (1, -3).

Пусть A(x₁, y₁) будет первой точкой пересечения (0, 0), а B(x₂, y₂) будет второй точкой пересечения (1, -3).

Теперь, чтобы найти верхнюю границу фигуры между параболой и осью x, мы должны найти максимум функции y = -3x².

Для этого вычислим вершину параболы.
Формула вершины параболы x = -b / (2a), где a и b - коэффициенты при x в уравнении параболы y = ax² + bx + c

У нас уравнение y = -3x², поэтому a = -3 и b = 0.
x = -0 / (2 * -3)
x = 0

Таким образом, вершина параболы находится в точке (0, 0).

Итак, мы нашли, что парабола y = -3x² пересекает ось x в точках (0, 0) и (1, -3), а вершина параболы находится в точке (0, 0).

Теперь давайте найдем площадь фигуры между параболой и осью x.

Площадь фигуры между двумя криволинейными графиками ограничена верхней кривой (в нашем случае это парабола y = -3x²) и нижней кривой (в нашем случае это ось x).

Площадь между двумя криволинейными графиками может быть найдена с использованием определенного интеграла: ∫(нижний предел, верхний предел) [верхняя кривая - нижняя кривая] dx

В нашем случае, нижняя кривая является осью x, которая имеет уравнение y = 0, а верхняя кривая - парабола y = -3x².

Таким образом, площадь фигуры S может быть найдена с помощью интеграла:
S = ∫(0, 1) [-3x² - 0] dx

Вычислим этот интеграл:

S = -∫(0, 1) 3x² dx

Для интегрирования функции x², используем формулу степенного интеграла:

∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, где C - константа интегрирования

S = -3 * (-x^3/3) ∣ (0, 1)

S = -3 * (-1/3) - (-3 * (-0/3))

S = 1

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками y = -3x², y = 0, x = 1 и x = 2, равна 1.

Я надеюсь, что это объяснение было понятным и полезным для тебя! Если у тебя возникнут еще вопросы, не стесняйся задать их.