Найдите наименьшее значение функции y=x^3+12x^2+36x+3 , на отрезке [4; 12]

Находим производную функции
(y)'=(x^3+12x^2+36x+3)'=3x^2+24x+36
В точках минимума и максимума производная функции равна нулю.
Решаем кв. уравнение

3x^2+24x+36=0
D^2=24*24-4*3*36=576-432=144
D=12
x1=(-24+12)/6=-2
x2=(-24-12)/6=-6
На искомом отрезке экстремумов функции нет, в точке x=0 производная функции положительная, следовательно точка х=-2 является минимумом функции. Минимальное значение на отрезке [4; 12] в точке х=4, см. рисунок