Алгебра: Найдите число корней уравнения [tex]x {}^{5} + x {}^{3} + 1 = 0[/tex]

Можно исследовать функцию С производнойОтмечаем на числовой оси полученные нули производной и определяем промежутки знакопостоянства:++++++[0]+++++ хТам где производная положиьельная, сама функция возрастаетИзначальная функция непрерывна в точке х=0, поэтомуВозрастает на всей числовой оси, то есть (-оо; +оо) Если функция возрастающая, определена на всей числовой оси и имеет область значений Е(у) =(-оо;+оо), то она пересекает ось Ох в одной точке. Следовательно, исходное уравнение имеет всего лишь...

Найдите число корней уравнения $x {}^{5} + x {}^{3} + 1 = 0$

Ответы

RETYUOP 09.10.2020 22:17

Можно исследовать функцию
$y = {x}^{5} + {x}^{3} + 1$

С производной

$y' = 5 {x}^{4} + 3 {x}^{2} = {x}^{2} (5 {x}^{2} + 3)$
y' = 0

${x}^{2} (5 {x}^{2} + 3) = 0 \\ x_{1} = 0 \\ x_{2} = 0$
Отмечаем на числовой оси полученные нули производной и определяем промежутки знакопостоянства:

++++++[0]+++++>х

Там где производная положиьельная, сама функция возрастает

Изначальная функция непрерывна в точке х=0, поэтому

$y = {x}^{5} + {x}^{3} + 1$
Возрастает на всей числовой оси, то есть (-оо; +оо)

Если функция возрастающая, определена на всей числовой оси и имеет область значений Е(у) =(-оо;+оо), то она пересекает ось Ох в одной точке.

Следовательно, исходное уравнение имеет всего лишь один корень

ответ: 1 корень

P.S. можно также построить график и по нему уже точно сказать, что уравнение имеет 1 корень

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ

Другие вопросы по теме Алгебра