На числовой прямой дана точка x=5,3. Тогда её ε-окрестностью является интервал? 1)(4,9 ;5,3)
2)(5,3 ; 5,7)
3) (5,1 ;5,8)
4)(5,1 ;5,5)

Добрый день! Рассмотрим данный вопрос внимательно.

Чтобы определить ε-окрестность точки x=5,3, нужно найти интервал, границы которого находятся на расстоянии ε от точки x=5,3. Здесь ε - некоторое положительное число, которое определяет ширину окрестности.

Для начала, рассмотрим интервал (4,9 ; 5,3). Очевидно, что точка x=5,3 лежит в этом интервале, так как она больше 4,9 и меньше 5,3. Однако, у нас нет информации о том, насколько велико ε, и поэтому мы не можем гарантировать, что интервал (4,9 ; 5,3) является ε-окрестностью данной точки.

Рассмотрим теперь интервал (5,3 ; 5,7). В данном случае, точка x=5,3 лежит на границе указанного интервала. Из определения ε-окрестности следует, что границы интервала должны быть строго меньше и строго больше самой точки, поэтому интервал (5,3 ; 5,7) не является ε-окрестностью точки x=5,3.

Перейдём к интервалу (5,1 ; 5,8). Как и в предыдущем случае, точка x=5,3 лежит на границе данного интервала. Вновь, такая окрестность не подходит для нашей точки.

И, наконец, рассмотрим интервал (5,1 ; 5,5). В данном случае, точка x=5,3 лежит внутри интервала, так как она больше 5,1 и меньше 5,5. Более того, границы данного интервала находятся на расстоянии ε от точки x=5,3. Следовательно, интервал (5,1 ; 5,5) является ε-окрестностью данной точки.

Таким образом, правильный ответ на вопрос - 4) (5,1 ; 5,5). Именно этот интервал можно считать ε-окрестностью точки x=5,3.

Я надеюсь, что объяснение было понятным и полезным для вас. Если у вас возникнут ещё вопросы, не стесняйтесь задавать!