Исследуйте функцию и постройте ее график у=0,5х^4-4x^2

у=0,5х^4-4x^2   Substitution  x²=u

f(x)=0,5u²-4u

0,5u²-4u=0

u(0,5u-4)=0

u₁=0  0,5u-4=0  

0,5=4

u=8

Resubstitution x²=8

x=±√8   Tochki peresichenija aksy X   P₁(0;0)  P₂(√8;0)  P₃(-√8;0)

Teper reshaem gde nahodjatsja Extrema

f'(x)=2x³-8x=0

2x(x²-4)=0

2x=0

x₁=0    x²-4=0

           x²=4

          x₂,₃=±2

Teper prowerjaem eti tochki na maximum ili na minimum, dlja etogo nam nuzhna 2 proizwodnaja

f''(x)=6x²-8=0

6×0-8=-8<0 menshe nolja znachit Maximum

6×2²-8=16> bolshe nolja znachit minimum

6×(-2)²-8=16> bolshe nolja znachit minimum

i eshe my delaem wywod chto parabala semetrichna k x-osi

teper reshaem znachenie y, dlja etogo wstawljaem 0, 2, -2  w f(x)=0

f(x)=0,5×0⁴-4×0²=0   Pmax(0;0)

f(x)=0,5×2⁴-4×2²=-8  Pmin(2;-8)

f(x)=0,5×(-2)⁴-4×(-2)²=8 Pin(-2;8)

Teper reshaem tochku peregiba, dlja etogo nam nuzhen f''(x)=0

f''(x)=6x²-8=0

6x²=8

x²=4/3

x₁,₂=√4/3≈1,3333333

f(x)=0,5×(√4/3)⁴-4(√4/3)²=-40/9≈-4,444444    Tochka peregiba P(√4/3;-40/9)

f(x)=0,5×(-√4/3)⁴-4(-√4/3)²=-40/9≈-4,444444    Tochka peregiba P(√-4/3;-40/9)