Используя деление "уголком", запишите в каноническом виде частное при делении многочлена h(x) = x^3+kx^2+x+21на двучлен (x+3). Найдите все корни многочлена и разложите его на ммножители (с решением)

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

1. Вначале мы должны разделить многочлен h(x) = x^3 + kx^2 + x + 21 на двучлен (x + 3) с помощью деления "уголком".

2. Для начала, посмотрим на старший член многочлена h(x), который является x^3. Мы должны поделить его на старший член двучлена (x + 3), то есть на x. Результат деления будет x^2.

3. Теперь, умножим двучлен (x + 3) на полученный результат x^2, то есть (x^2)(x + 3), чтобы получить промежуточный многочлен.

x^2 * (x + 3) = x^3 + 3x^2.

4. Вычтем полученный промежуточный многочлен из исходного многочлена h(x), чтобы получить остаток деления:

h(x) - (x^3 + 3x^2) = -3x^2 + x + 21.

5. Теперь мы должны поделить остаток -3x^2 + x + 21 на двучлен (x + 3). Повторим процесс деления.

6. Посмотрим на старший член остатка, который является -3x^2. Мы должны поделить его на старший член двучлена (x + 3), то есть на x. Результат деления будет -3x.

7. Умножим двучлен (x + 3) на полученный результат -3x, то есть (-3x)(x + 3), чтобы получить промежуточный многочлен:

-3x * (x + 3) = -3x^2 - 9x.

8. Вычтем полученный промежуточный многочлен из остатка:

(-3x^2 + x + 21) - (-3x^2 - 9x) = 10x + 21.

9. Имеем остаток 10x + 21. Теперь мы должны поделить его на двучлен (x + 3).

10. Старший член остатка 10x является младшим коэффициентом двучлена (x + 3), то есть 10. Результат деления будет 10.

11. Умножим двучлен (x + 3) на полученный результат 10, то есть (10)(x + 3), чтобы получить промежуточный многочлен:

10 * (x + 3) = 10x + 30.

12. Вычтем полученный промежуточный многочлен из остатка:

(10x + 21) - (10x + 30) = -9.

13. Получили конечный остаток -9, который не может быть поделен на двучлен (x + 3).

14. Таким образом, каноническая форма частного при делении многочлена h(x) на двучлен (x + 3) будет равна x^2 - 3x + 10, а остаток -9.

Теперь перейдем к нахождению корней и разложению многочлена на множители.

1. Пусть многочлен h(x) = x^3 + kx^2 + x + 21 имеет корень r. Тогда, если r является корнем, то (x - r) является множителем многочлена. Проверим, будет ли 3 корнем многочлена.

2. Подставим r = 3 в многочлен h(x) и проверим, является ли результат равным нулю:

h(3) = (3)^3 + k(3)^2 + 3 + 21 = 27 + 9k + 24 = 0.

Решим уравнение: 27 + 9k + 24 = 0.

9k + 51 = 0.
9k = -51.
k = -51/9.
k = -17/3.

3. Таким образом, корень многочлена h(x) равен 3, а коэффициент k равен -17/3.

4. Разложим многочлен h(x) на множители, используя его корень 3:

h(x) = (x - 3)(x^2 - 3x + 10).

Таким образом, каноническая форма частного при делении многочлена h(x) на двучлен (x + 3) равна x^2 - 3x + 10, корни многочлена h(x) - это 3, а разложение многочлена h(x) на множители будет (x - 3)(x^2 - 3x + 10).