fx= mx^2+x+m^2-1, m не равно 0 . Найдите действительные значения m, при которых график функции есть парабола с ветвями направленными вниз , проходящяя через начало системы координат

Для того чтобы график функции fx= mx^2+x+m^2-1 был параболой с ветвями направленными вниз и проходящий через начало системы координат (то есть через точку (0,0)), необходимо, чтобы эта точка лежала на вершине параболы.

Вершина параболы находится в точке с координатами (h,k), где h = -b/2a и k = f(h).

В данном случае, функция имеет вид fx= mx^2+x+m^2-1, что означает, что a=m, b=1, c=m^2-1.

Для того чтобы найти значения m, при которых вершина параболы находится в точке (0,0), подставим эти значения в формулу для вершины параболы:

h = -b/2a = -1/2m = 0,
k = f(h) = fm^2+m^2-1 = 0.

Для начала найдем значение m, при котором h=0:

-1/2m = 0,
-1 = 0,

Очевидно, что уравнение не имеет решения при любом значении m, так как правая часть уравнения не равна 0. Следовательно, в данном случае значения m не могут удовлетворять условию.

Теперь посмотрим, при каких значениях m находится вершина параболы близко к (0,0). Для этого найдем значение k, при котором h=0:

k = 0m^2+m^2-1 = m^2-1.

Нам нужно, чтобы k было близко к 0, поэтому рассмотрим граничные случаи:
1) m^2-1 = 0,
2) m^2-1 < 0,
3) m^2-1 > 0.

1) m^2-1 = 0:
m^2 = 1,
m = ±1.

2) m^2-1 < 0:
m^2 < 1,
|m| < 1,
-1 < m < 1.

3) m^2-1 > 0:
m^2 > 1,
|m| > 1,
m < -1 или m > 1.

Таким образом, получаем следующие действительные значения m, при которых график функции является параболой с ветвями направленными вниз и проходящей через начало системы координат: m = -1, m = 1, м принадлежит интервалу (-1,1).