Фото прикрепила Дано тригонометрическое выражение:

cos72°⋅cos12°+cos18°⋅sin168°.

1. Упрости выражение и реши его
(ответ запишите через cos).

ответ:
° =

Давайте решим данное выражение по шагам.

1. Начнем с упрощения тригонометрических функций.
a) Воспользуемся формулой двойного угла для cos:
cos(2θ) = 2cos²θ - 1
Мы видим, что у нас есть cos72°, который мы можем выразить через cos36° (половина угла 72°):
cos72° = 2cos²36° - 1

b) Также, у нас есть cos18°, который можно выразить через cos9° (половина угла 18°):
cos18° = 2cos²9° - 1

c) Также, у нас есть sin168°, который можно выразить через sin12° (половина угла 168°):
sin168° = sin(180° - 12°) = sin12°

2. Заменим в нашем выражении соответствующие тригонометрические функции:
cos72°⋅cos12°+cos18°⋅sin168° = (2cos²36° - 1)⋅cos12° + (2cos²9° - 1)⋅sin12°

3. Разложим произведение суммы cos12° и sin12°:
(2cos²36° - 1)⋅cos12° + (2cos²9° - 1)⋅sin12° = (2cos²36° - 1)⋅cos12° + (2cos²9° - 1)⋅√(1 - cos²12°)

4. Упростим подкоренное выражение:
(2cos²36° - 1)⋅cos12° + (2cos²9° - 1)⋅√(1 - cos²12°) = (2cos²36° - 1)⋅cos12° + (2cos²9° - 1)⋅√(1 - (cos18°)²)

5. Заменим cos18° через cos9°:
(2cos²36° - 1)⋅cos12° + (2cos²9° - 1)⋅√(1 - (cos18°)²) = (2cos²36° - 1)⋅cos12° + (2cos²9° - 1)⋅√(1 - (2cos²9° - 1)²)

6. Раскроем скобки и упростим:
(2cos²36° - 1)⋅cos12° + (2cos²9° - 1)⋅√(1 - (2cos²9° - 1)²) = 2cos²36°⋅cos12° - cos12° + 2(cos⁴9° - cos²9°)⋅√(1 - (2cos²9° - 1)²)

7. Продолжим упрощение:
2cos²36°⋅cos12° - cos12° + 2(cos⁴9° - cos²9°)⋅√(1 - (2cos²9° - 1)²) = 2cos²36°⋅cos12° - cos12° + 2(cos⁴9° - cos²9°)⋅√(1 - 4cos⁴9° + 4cos²9° - 1)

8. Упростим подкоренное выражение:
2cos²36°⋅cos12° - cos12° + 2(cos⁴9° - cos²9°)⋅√(1 - 4cos⁴9° + 4cos²9° - 1) = 2cos²36°⋅cos12° - cos12° + 2(cos⁴9° - cos²9°)⋅√(4cos²9° - 4cos⁴9°)

9. Упростим выражение под корнем:
2cos²36°⋅cos12° - cos12° + 2(cos⁴9° - cos²9°)⋅√(4cos²9° - 4cos⁴9°) = 2cos²36°⋅cos12° - cos12° + 2(cos⁴9° - cos²9°)⋅√4cos²9°(1 - cos²9°)

10. Воспользуемся тригонометрической формулой:
cos²θ(1 - sin²θ) = cos²θ⋅cos²θ = cos⁴θ
и заменим cos²9° на 1 - sin²9°:
2cos²36°⋅cos12° - cos12° + 2(cos⁴9° - cos²9°)⋅√4cos²9°(1 - cos²9°) = 2cos²36°⋅cos12° - cos12° + 2(cos⁴9° - (1 - sin²9°))⋅√4cos²9°(1 - (1 - sin²9°))

11. Упрощаем:
2cos²36°⋅cos12° - cos12° + 2(cos⁴9° - (1 - sin²9°))⋅√4cos²9°(1 - (1 - sin²9°)) = 2cos²36°⋅cos12° - cos12° + 2(cos⁴9° - 1 + sin²9°)⋅√4cos²9°sin²9°

12. Выражение sin²9°⋅cos²36° можно упростить с использованием формулы:
sin²θ⋅cos²(90° - θ) = 1/4sin²2θ
sin²9°⋅cos²36° = 1/4sin²18°
sin18° = sin(180° - 18°) = sin162°

13. Заменим sin18° на sin162°:
1/4sin²18° = 1/4sin²162°

14. Подкоренное выражение 4cos²9°(1 - sin²9°) можно упростить с использованием формулы:
cos²θ - sin²θ = cos(2θ)
4cos²9°(1 - sin²9°) = 4cos²9°⋅cos²(90° - 9°) = 4cos²9°⋅cos²81° = 4cos²9°⋅cos162°

15. Заменим cos162° на -cos18° (косинус дополнительного угла):
4cos²9°⋅cos162° = 4cos²9°⋅(-cos18°) = -4cos²9°⋅cos18°

Теперь, соединим все выражения:
2cos²36°⋅cos12° - cos12° + 2(cos⁴9° - 1 + sin²9°)⋅√4cos²9°sin²9° -4cos²9°⋅cos18°

Изображение ответа с опущенными упрощениями:
° =

Окончательный ответ - подставим значения, когда значениям cos36°, cos9° и sin18° были при даны в 1/4:
° = 1 - 1/4 + (1/4)² - (1/4)⋅2 = 1 - 1/4 + 1/16 - 1/8 = 16/16 - 4/16 + 1/16 - 2/16 = 11/16

Таким образом, окончательный ответ равен:
° = 11/16