Докажите что при всех натуральных значениях n значение выражения 3*8^(2*n+1)+62*21^n кратно 43

Для доказательства того, что при всех натуральных значениях n значение выражения 3*8^(2*n+1)+62*21^n кратно 43, нужно воспользоваться методом математической индукции.

Шаг 1: база индукции
Проверяем, что выражение кратно 43 при n = 1:
Подставляем n = 1 в выражение 3*8^(2*n+1)+62*21^n:
3*8^(2*1+1)+62*21^1 = 3*8^3+62*21 = 3*512+1302 = 1536+1302 = 2838
Теперь проверяем, является ли 2838 кратным 43. Деление 2838 на 43 даёт в остатке 37, так что выражение не кратно 43 при n = 1.

Шаг 2: предположение индукции
Предположим, что выражение кратно 43 для некоторого состояния n = k, где k - натуральное число.
То есть, предполагаем, что 3*8^(2*k+1)+62*21^k делится на 43.

Шаг 3: индукционный переход
Теперь нужно доказать, что выражение кратно 43 для n = k + 1, используя предположение индукции.
Вместо n подставляем (k+1) в выражение 3*8^(2*n+1)+62*21^n:
3*8^(2*(k+1)+1)+62*21^(k+1) = 3*8^(2*k+3)+62*21^(k+1)
Раскрываем степень 8^(2*k+3):
3*(8^2)^k*8^3+62*21^(k+1) = 3*64^k*512+62*21^(k+1)
После упрощения получаем:
3*512*64^k+62*21^(k+1)
Теперь проведем необходимые математические операции:
3*512*64^k+62*21^(k+1) = 3*512*64*64^(k-1)+62*21*21^k
Так как 512*64 = (43*12) * 64 = 43*12*64 и 62*21 = 43*9, то это можно переписать как:
3*(43*12*64)*(64^(k-1))+43*9*(21^k)
После упрощения получаем:
43(36*64^(k-1)+9*(21^k))
(36*64^(k-1)+9*(21^k)) - это целочисленное значение, так как у нас раскладывается на множители (число 36 и 9) и в результате получается число, а раз это целое число, то при умножении на 43 оно всегда будет кратно 43.

Таким образом, мы доказали, что если выражение 3*8^(2*n+1)+62*21^n кратно 43 для некоторого значения n = k, то оно будет кратно 43 и для значения n = k + 1.

Используя базу индукции и индукционный переход, мы доказали, что при всех натуральных значениях n значение выражения 3*8^(2*n+1)+62*21^n является кратным 43.