Докажите, что при любых натуральных значениях n верно равенство ​

Для доказательства данного равенства нам понадобится принцип математической индукции.

Принцип математической индукции состоит из двух шагов:
1) Базисный шаг: проверка равенства при n = 1 (или другом начальном значении).
2) Шаг перехода: предположение, что равенство верно для некоторого значения n = k, и доказательство верности равенства для n = k + 1.

Давайте применим эти шаги для данного равенства.

1) Базисный шаг:
Подставим n = 1 в равенство:
2*1 - 3 = 2 - 3 = -1
Таким образом, базисный шаг выполнен.

2) Шаг перехода:
Предположим, что равенство верно для некоторого значения n = k. То есть:
2^k - 3^k = (2 - 3)(2^(k-1) + 2^(k-2)*3 + ... + 3^(k-1))

Докажем равенство для n = k + 1:
Подставим n = k + 1 в левую часть равенства:
2^(k+1) - 3^(k+1)

Раскроем каждое слагаемое в скобках:
2^(k+1) - 3^(k+1) = (2 - 3)(2^k + 2^(k-1)*3 + ... + 3^k) - 3^(k+1)

Вынесем общий множитель за скобки:
=(2 - 3)(2^k + 2^(k-1)*3 + ... + 3^k - 3*3^k)

Упростим вычитание слагаемых:
=(2 - 3)(2^k + 2^(k-1)*3 + ... + 3^k + 3^k)

Заметим, что в скобках стоит равенство, которое мы предположили верным для n = k:
=(2 - 3)(2^(k-1) + 2^(k-2)*3 + ... + 3^(k-1))

Таким образом, мы получили выражение, которое совпадает с правой частью равенства.
То есть, равенство верно и для n = k + 1.

Таким образом, мы доказали равенство
2^n - 3^n = (2 - 3)(2^(n-1) + 2^(n-2)*3 + ... + 3^(n-1)) при любых натуральных значениях n, используя принцип математической индукции.