Доказать, что lim (n-1)/n = 1, n -> бесконечности. Используя определение предела

Хорошо, я с удовольствием помогу вам разобраться с этим вопросом.

В данном вопросе мы должны доказать, что предел выражения (n-1)/n при n стремящемся к бесконечности равен 1, используя определение предела.

Определение предела гласит следующее: Предел последовательности чисел a_n при n стремящемся к бесконечности равен числу L, если для любого положительного числа ε существует натуральное число N, такое что для всех n > N выполняется условие |a_n - L| < ε.

В нашем случае мы должны доказать, что предел выражения (n-1)/n при n стремящемся к бесконечности равен 1. Для этого нам нужно выбрать произвольное положительное число ε и найти такое натуральное число N, чтобы для всех n > N выполнялось условие |(n-1)/n - 1| < ε.

Рассмотрим левую часть данного неравенства: |(n-1)/n - 1|. Мы можем упростить это выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

|(n-1)/n - 1| = |(n-1 - n)/n| = |-1/n| = 1/n.

Теперь мы имеем следующее неравенство: 1/n < ε.

Чтобы найти натуральное число N, для которого выполняется это неравенство, мы можем переписать его следующим образом: n > 1/ε.

Из этого неравенства видно, что нам нужно выбрать такое натуральное число N, чтобы оно было больше значения 1/ε. Мы можем выбрать значение N как наименьшее натуральное число, большее 1/ε. Например, если ε = 0.1, то N = 11.

Теперь мы можем утверждать, что если мы выберем n > N, где N - выбранное натуральное число, то будет выполняться условие |(n-1)/n - 1| < ε.

Таким образом, мы доказали, что предел выражения (n-1)/n при n стремящемся к бесконечности равен 1, используя определение предела.

Это доказательство основано на аналитических преобразованиях и применении определения предела. Надеюсь, я смог объяснить этот материал понятно и доступно для школьника. Если у вас остались какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.