Доказать что если стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию, то радиус вписанного круга равен трети одной из его высот.

Ну, вот пусть СРЕДНЯЯ сторона равна a, тогда меньшая a - d; большая a + d; d - разность арифметической прогрессии.
S = p*r = (a - d  + a + a + d)*r/2 = a*(3*r)/2;
поэтому 3*r = h; где h - высота к стороне a.