Дано: f(x)={x2+6x+8,еслиx∈[−6;−1]x+2−−−−√+2,еслиx∈(−1;2] Построй график данной функции. При него найди интервалы возрастания и убывания, экстремумы (т. е. максимумы и минимумы) функции, наибольшее и наименьшее значения функции, интервалы знакопостоянства функции, чётность, нули функции и точки пересечения с осями x и y.

1. Интервал возрастания функции:
x∈[−3;2]
x∈(−2;2)
x∈(−3;2)

Интервал убывания функции:
x∈[−6;−3]
x∈(−6;−3)
x∈[−6;−3)
x∈(−6;−4)

2. Экстремум функции
(в соответствующее окно вводи целое число — положительное или отрицательное):
f(
) =
.

Это
минимум функции
максимум функции

3. Наибольшее и наименьшее значения функции (в соответствующее окно вводи целое число — положительное или отрицательное):

a) наибольшее значение функции f(
) =
;
б) наименьшее значение функции f(
) =
.

4. Интервалы знакопостоянства функции:

a) функция положительна, если
x∈[−3;2]
x∈[−6;−4]∪[−2;2]
x∈(−6;−4)∪(−2;2)
x∈[−6;−4)∪(−2;2]
б) функция отрицательна, если
x∈[−4;−2]
x∈(−4;−2]
x∈[−6;−3]
x∈(−4;−2)

5. Функция
нечётная
ни чётная, ни нечётная
чётная

6. Нули функции (выбери несколько вариантов ответов):
x=2
x=−1
x=−3
x=−2
x=−4

7. Точки пересечения графика функции с осями x и y:

a) точки пересечения с осью x
и
(вводи координаты точек в возрастающей последовательности, не используй пробел);
б) точка пересечения с осью y
(вводи координаты точек, не используя пробел; у точек, у которых невозможно определить точные координаты, вводи приближенные значения до двух цифр после запятой).​

1. Чтобы начертить графики, необходимо составить таблицу значений для каждого выражения для соответствующих значений x:

x2+6x+8,еслиx∈[−6;−1].

x  

−6

−5

−4

−3

−2

−1

y        

x+2−−−−√+2,еслиx∈(−1;2].

x  

−1

0

1

2

y      

2. Заполняем обе таблицы значениями y, которые можно вычислить, подставив в выражение вместо x соответствующие значения аргумента:

x2+6x+8,еслиx∈[−6;−1];

a) y=(−6)2+6⋅(−6)+8=36−36+8=8;

b) y=(−5)2+6⋅(−5)+8=25−30+8=3;

c) y=(−4)2+6⋅(−4)+8=16−24+8=0;

d) y=(−3)2+6⋅(−3)+8=9−18+8=−1;

e) y=(−2)2+6⋅(−2)+8=4−12+8=0;

f) y=(−1)2+6⋅(−1)+8=1−6+8=3.

x  

−6

−5

−4

−3

−2

−1

y  

8  

3  

0  

−1  

0  

3

x+2−−−−√+2,еслиx∈(−1;2];

y=−1+2−−−−−−√+2=1–√+2=1+2=3;

y=0+2−−−−√+2=2–√+2≈1,41+2≈3,41;

y=1+2−−−−√+2=3–√+2≈1,73+2≈3,73;

y=2+2−−−−√+2=4–√+2=2+2=4.

x  

−1

0

1

2

y  

3  

3,41  

3,73  

4

3. Чертим график функции.

a4.png

При значении x, равном −1, по интервалу первого выражения точка должна быть закрашенной, но по интервалу второго выражения точка должна быть незакрашенной. В этой ситуации точка на чертеже должна быть закрашенной.

4. Интервалы возрастания и убывания функции определяем по оси x. Если при возрастании значений x значения функции возрастают (на рис. график идёт вверх), то на этом интервале функция возрастает. Если при возрастании значений x значения функции убывают (на рис. график идёт вниз), то на этом интервале функция убывает.

a4.png

Интервал возрастания функции: x∈[−3;2].

Интервал убывания функции: x∈[−6;−3].

5. Точку, в которой функция непрерывна и меняется с возрастающей на убывающую, называют максимумом функции. Точку, в которой функция непрерывна и меняется с убывающей на возрастающую, называют минимумом функции. Минимумы и максимумы функции называются экстремумами. Поэтому экстремумом функции является f(−3) = −1 (минимум функции).

6. Наибольшее и наименьшее значения функции находят по оси y, и они часто совпадают с экстремумами функции. Разница в том, что наибольшее и наименьшее значения есть в том случае, когда функция прерывается. В данном примере наибольшим значением функции является f(−6) = 8, наименьшим значением функции является f(−3) = −1.

7. Положительные и отрицательные значения функции определяют по оси x. Та часть функции, график которой находится ниже оси x, является отрицательной, а та, которая находится выше оси x, является положительной. Следовательно, функция положительна, если x∈[−6;−4)∪(−2;2], и отрицательна, если x∈(−4;−2).

8. Так как функция не симметрична ни относительно оси y , ни относительно начала координат, то она является ни чётной, ни нечётной.

9. Нулями функции являются те значения, при которых функция касается или пересекает ось x:

x1=−4,т. к.f(−4)=0;

x2=−2,т. к.f(−2)=0.

10. Точки пересечения с осями x и y можно определить по графику:

a) точки пересечения с осью x: (−4;0) и (−2;0);

б) точка пересечения с осью y: (0;3,41).

Объяснение: