C6.решите уравнение в натуральных числах mn^2+36=18m ,

mn^2+36 = 18m; mn^2+36-18m = 0; mn^2-18m+36 = 0; mn^2-18m = -36; m(n^2-18) = -36

подбирая делители числа -36, в том числе отрицательные, получаем следующие варианты:

1. m = 1; n^2-18 = -36; n^2-18+36 = 0; n^2+18 = 0; n^2 = -18; но по свойству чётной степени n^2>=0; поэтому n^2 не равен 18, значит, в данном случае решений нет

2. m = 2; n^2-18 = -18; n^2-18+18 = 0; n^2 = 0; n = 0; но по условию n -  натуральное число, то есть n>0; поэтому n не равен 0, значит, в данном случае решений нет

3. m = 3; n^2-18 = -12; n^2-18+12 = 0; n^2-6 = 0; n^2 = 6; но нет такого целого числа, квадратом которого является 6, значит, в данном случае решений нет

4. m = 4; n^2-18 = -9; n^2-18+9 = 0; n^2-9 = 0; n^2 = 9; n = -3 v n = 3; но по условию n - натуральное число, значит, n не равен 3, n = 3, значит, в данном случае есть решение (4;3)

5. m = 6; n^2-18 = -6; n^2-18+6 = 0; n^2-12 = 0; n^2 = 12; но нет такого целого числа, квадратом которого является 12, значит, в данном случае решений нет

6. m = 9; n^2-18 = -4; аналогично предыдущему случаю решений нет

7. m = 18; n^2-18 = -2; n^2-16 = 0; n^2 = 16; аналогично 4-му случаю n>0; n = 4; (18;4)

8. m = 36; n^2-18 = -1; аналогично случаям 5 и 6 решений нет

по условию m натуральное число, поэтому вариантов с отрицательными m нет

ответ: (4;3);(18;4).