3.41. Найдите область определения функции:

Для того чтобы найти область определения функции, нужно определить, для каких значений аргумента функция имеет смысл и является определенной.

В данном случае у нас есть функция f(x), заданная формулой:
f(x) = √(9 - 4x^2)

Для того чтобы вычислить область определения этой функции, нужно учесть два фактора:

1. Ограничение по определению корня: извлечение корня имеет смысл только для неотрицательных чисел или нуля. Значит, выражение (9 - 4x^2) должно быть больше или равно нулю.
9 - 4x^2 ≥ 0

2. Ограничение по определению аргумента: знаменатель не должен равняться нулю, так как деление на ноль не определено. Значит, рассмотрим условие:
9 - 4x^2 > 0

Перейдем к решению первого неравенства:
9 - 4x^2 ≥ 0

Для упрощения неравенства, перенесем все в левую часть:
4x^2 - 9 ≥ 0

Выражение в левой части разности можно преобразовать к виду разности квадратов:
(2x - 3)(2x + 3) ≥ 0

Рассмотрим значения, при которых произведение двух множителей положительно или равно нулю.

1) Если (2x - 3) ≥ 0 и (2x + 3) ≥ 0, то оба множителя отрицательны или равны нулю:
2x - 3 ≥ 0 => 2x ≥ 3 => x ≥ 3/2
2x + 3 ≥ 0 => 2x ≥ -3 => x ≥ -3/2

2) Если (2x - 3) ≤ 0 и (2x + 3) ≤ 0, то оба множителя положительны или равны нулю:
2x - 3 ≤ 0 => 2x ≤ 3 => x ≤ 3/2
2x + 3 ≤ 0 => 2x ≤ -3 => x ≤ -3/2

Итак, область определения функции f(x) состоит из значений x, для которых выполняются все полученные неравенства одновременно.

Вариант 1: x ≥ 3/2 и x ≥ -3/2
То есть, область определения включает все значения x, которые больше или равны 3/2.

Вариант 2: x ≤ 3/2 и x ≤ -3/2
То есть, область определения включает все значения x, которые меньше или равны -3/2.

2) Учитывая ограничение по определению аргумента, рассмотрим второе неравенство:
9 - 4x^2 > 0

Для упрощения неравенства, перенесем все в левую часть:
4x^2 - 9 < 0

Как и в предыдущем случае, выражение в левой части можно преобразовать к виду разности квадратов:
(2x - 3)(2x + 3) < 0

Рассмотрим значения, при которых произведение двух множителей отрицательно.

1) Если (2x - 3) > 0 и (2x + 3) < 0, то один множитель положителен, а второй отрицателен:
2x - 3 > 0 => 2x > 3 => x > 3/2
2x + 3 < 0 => 2x < -3 => x < -3/2

2) Если (2x - 3) < 0 и (2x + 3) > 0, то один множитель отрицателен, а второй положителен:
2x - 3 < 0 => 2x < 3 => x < 3/2
2x + 3 > 0 => 2x > -3 => x > -3/2

Таким образом, область определения функции f(x) состоит из значений x, для которых выполняется второе неравенство.

Вариант 1: x > 3/2 и x < -3/2
То есть, область определения включает все значения x, которые больше 3/2 и меньше -3/2.

Вариант 2: x < 3/2 и x > -3/2
То есть, область определения включает все значения x, которые меньше 3/2 и больше -3/2.

Итак, область определения функции f(x) складывается из пересечения областей, полученных в каждом случае.

Область определения функции f(x) состоит из всех значений x, которые больше или равны 3/2, и меньше или равны -3/2.

Окончательно, область определения функции f(x): x ≥ 3/2 и x ≤ -3/2.