2.97. Разложите квадратный трехчлен на множители: 1) х2 - 2x – 48; 2) 2x2 – 5х + 3; 3) 3х2 - 10x + 3;
4) 5х2 – х – 42; 5) 3х2 – 8х + 5; 6) 36х2 –12х + 1;
7) 2x2 – 7х + 6; 8) х2+9х – 22; 9) х2 - 8х - 84;
10) 4х2 – 11х + 7; 11) 5х2 +9х+ 4; 12) 2x2 – 7х + 5.
​

Чтобы разложить квадратный трехчлен на множители, мы должны найти все его множители, которые умножаясь вместе, дают исходный трехчлен.

1) Начнем с квадратного трехчлена х^2 - 2x - 48. Заметим, что коэффициент при х^2 равен 1, а коэффициенты перед х и числом 48 являются целыми числами. В таких случаях мы можем использовать метод разложения на множители путем разложения числа 48 на все возможные факторы и проверки их комбинаций.

48 разложим на его факторы: 48 = 1 * 48, 2 * 24, 3 * 16, 4 * 12, 6 * 8.

После этого нам нужно найти комбинацию этих факторов, дающую -2 второго члена. Так как -2 является отрицательным числом, один из факторов должен быть положительным, а другой отрицательным.

Проверим комбинации:
1 * 48 = 48 (не дает -2)
2 * 24 = 48 (не дает -2)
3 * 16 = 48 (не дает -2)
4 * 12 = 48 (не дает -2)
6 * 8 = 48 (не дает -2)

Как видим, ни одна из комбинаций не дает -2. Чтобы разложить этот трехчлен, мы можем использовать метод искусственного деления.

Искусственное деление:
х^2 - 2x - 48 разделяется на (х - а)(х - b), где а и b являются корнями разложенного трехчлена.

Сначала найдем средний член:
-2х можно разделить на -6х и 3х.

Так как наш исходный трехчлен является квадратным, мы знаем, что сумма корней равна коэффициенту перед х (-2) и произведение корней равно коэффициенту перед х^2 (1).

Таким образом, мы должны разложить -48 на два числа, сумма которых равна -2x (коэффициент перед х в исходном трехчлене) и их произведение равно 1.

-48 разделяется на два числа: -8 и 6.

Теперь поместим эти числа в наш трехчлен:

(х - 8)(х + 6)

Это разложение на множители трехчлена х^2 - 2x - 48.

2) Повторим процесс для второго трехчлена: 2x^2 - 5x + 3.

Снова рассмотрим коэффициенты перед х^2 (2), х (-5) и числом 3.

3 не имеет делителей, кроме себя самого и 1. Коэффициенты перед х - отрицательный и положительный.

Вычислим произведение чисел, равное произведению коэффициентов перед х^2 и числом 3: 2 * 3 = 6.

Как искусственное деление не сработало, попробуем разложить число 6 на комбинации:

6 = 1 * 6, 2 * 3.

Проверим комбинации:
1 * 6 = 6 (не дает -5)
2 * 3 = 6 (не дает -5)

Ни одна из комбинаций не дает -5, поэтому перейдем к искусственному делению и разложим 2x^2 - 5x + 3 на (х - а)(х - b).

Сначала найдем средний член:

-5х можно разделить на -6х и 3х.

Так как наш исходный трехчлен является квадратным, мы знаем, что сумма корней равна коэффициенту перед х (-5) и произведение корней равно коэффициенту перед х^2 (2).

Опять, мы должны разложить 3 на два числа, сумма которых равна -5х (коэффициент перед х в исходном трехчлене) и их произведение равно 2.

3 может быть разложено на 3 и 1.

Теперь поместим эти числа в наш трехчлен:

(2х - 3)(х - 1)

Это разложение на множители трехчлена 2x^2 - 5x + 3.

Повторите аналогичные шаги для остальных трехчленов, чтобы разложить их на множители.