1. Теоретическая часть.

Отметь знаком «+» правильные утверждения и знаком «-» ошибочные.

1.Прямоугольным называется треугольник, у которого все углы прямые.

2. В прямоугольном треугольнике может быть только один прямой угол.

3. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 100.

4. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30, равен половине гипотенузы.

5.Если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого, то такие треугольники равны.

6. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

7. Перпендикуляр , проведенный из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведенной из той же точки к этой прямой.

8. Все точки каждой из двух прямых равноудалены от другой прямой.

9. . Длина наклонной, проведенной из точки к прямой, называется расстоянием от этой точки до прямой.

2. Тестовая часть.

1. Если в ∆ АВС < А = 30 , < В = 90, АС= 20 см, то сторона ВС равна

а) 10 см ; б) 20 см ; в) 40 см.

2. . Если в ∆ АВС < А = 90, АВ = АС, то

а) < В = 55 ; б) < С = 45 ; в) < В = 65.

3.По чертежу найти < ВЕА , СЕ, АС, если ВЕ = 6 см. <А= 30°

В а) 120; 3см; 9см.

б) 110; 6см; 12см.

в) 100; 5см; 10см.

С Е А

3. Практическая часть.

1. В треугольнике АВС < С = 60, < В = 90. Высота ВВ1 = 2см. Найдите АВ.

2. В прямоугольном треугольнике DCE с прямым углом С проведена биссектриса EF, причем FC = 13 см. Найдите расстояние от точки F до прямой DE.

1. Теоретическая часть:
1. Отмечаем знаком «+» правильные утверждения и знаком «-» ошибочные:
1. Прямоугольным называется треугольник, у которого все углы прямые. (+)
Это правильное утверждение, так как прямоугольный треугольник определяется наличием одного прямого угла.

2. В прямоугольном треугольнике может быть только один прямой угол. (-)
Это ошибочное утверждение, так как в прямоугольном треугольнике именно один из углов обязан быть прямым.

3. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 100. (-)
Это ошибочное утверждение, так как в прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов всегда равна 90 градусам.

4. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30, равен половине гипотенузы. (+)
Это правильное утверждение, так как по теореме синусов катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы.

5. Если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого, то такие треугольники равны. (-)
Это ошибочное утверждение, так как одному прямоугольному треугольнику может соответствовать бесконечное количество других прямоугольных треугольников с разными катетами и острыми углами.

6. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны. (+)
Это правильное утверждение, так как полностью совпадающие гипотенуза и катеты двух прямоугольных треугольников гарантируют их равенство.

7. Перпендикуляр, проведенный из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведенной из той же точки к этой прямой. (+)
Это правильное утверждение, так как перпендикуляр – это кратчайшее расстояние от точки до прямой, а наклонная – это длина отрезка, проведенного из той же точки до прямой под некоторым углом.

8. Все точки каждой из двух прямых равноудалены от другой прямой. (-)
Это ошибочное утверждение, так как для равноудаленности точек от прямой они должны лежать на перпендикуляре, проведенном к этой прямой.

9. Длина наклонной, проведенной из точки к прямой, называется расстоянием от этой точки до прямой. (+)
Это правильное утверждение, так как расстояние от точки до прямой измеряется длиной наклонной, проведенной из этой точки до прямой.

2. Тестовая часть:
1. Если в ∆ АВС < А = 30, < В = 90, АС = 20 см, то сторона ВС равна:
В данном случае, так как в треугольнике АВС угол В равен 90°, то треугольник АВС является прямоугольным. При этом угол АСВ является острым углом. Используя тригонометрию, можно найти сторону ВС, применив теорему Пифагора:
АВ² = АС² + ВС²
ВС² = АВ² - АС²
ВС² = (20 см)² - (20 см)²
ВС² = 400 см² - 400 см²
ВС² = 0 см²
Ответ: сторона ВС равна 0 см.

2. Если в ∆ АВС < А = 90, АВ = АС, то:
В данном случае, так как в треугольнике АВС угол А равен 90°, он является прямым. При этом, по условию, сторона АВ равна стороне АС. Используя свойства прямоугольного треугольника, можем сказать, что угол В равен 45°. Таким образом, правильный ответ – б) < С = 45.

3. По чертежу найти < ВЕА, СЕ, АС, если ВЕ = 6 см, < А = 30°:
Так как угол АСВ равен 30°, а угол А равен 30°, то угол С равен (180° - 30° - 90°) = 60°. Также из известных сторон и углов можно определить стороны ВС и BE с помощью тригонометрических функций. Используя теорему синусов, получим следующие выражения:

sin(30°) = BE / 6
BE = 6⋅sin(30°)
BE = 3 см

sin(60°) = ВС / 6
ВС = 6⋅sin(60°)
ВС = 6⋅√3/2
ВС = 3⋅√3 см

Таким образом, получаем ответы:
а) < ВЕА = 120°, СЕ = 3 см, АС = 9 см.

3. Практическая часть:
1. В треугольнике АВС < С = 60°, < В = 90°. Высота ВВ1 = 2 см. Найдите АВ.
Так как треугольник АВС прямоугольный, то через точку В можно провести высоту ВВ1, она будет перпендикулярна основанию АС. Так как ∆ АВС прямоугольный, то угол В = 90°. Получаем два подобных треугольника: ∆ ВВ1С и ∆ АВС. Используя их подобие, можно записать пропорцию:

BV₁ / AB = CV₁ / AC

Подставляя известные значения, получаем:

2 / AB = 2 / AC
AB = AC

Таким образом, АВ = AC. Ответ: АВ равно АС.

2. В прямоугольном треугольнике DCE с прямым углом С проведена биссектриса EF, причем FC = 13 см. Найдите расстояние от точки F до прямой DE.
По условию задачи, треугольник DCE является прямоугольным, а точка F – точка пересечения биссектрисы и гипотенузы. Расстояние от точки F до прямой DE равно расстоянию от точки F до стороны прямоугольного треугольника DCE, которое совпадает с радиусом вписанной окружности, описанной вокруг треугольника DEF.
Так как точка F является центром вписанной окружности, ее расстояние до прямой DE будет равно половине стороны треугольника DEF.
Используя свойство равнобедренного треугольника DEF (так как F является центром вписанной окружности и биссектриса, то ДЕ = DF), можем записать:

DE = 2⋅DF
DE = 26 см